Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 11183
2019-11-08 
В вертикальном замкнутом цилиндре сечением $S$ находится газ с молекулярным весом $\mu$. Способный без трения перемещаться поршень массы $m$ делит объем, занимаемый газом, на части $V_{1}$ и $V_{2}$. Температура всей системы неизменна и равна $T$. Зная, что период колебания поршня равен $\tau$, найти массу газа в цилиндре, считая, что над и под поршнем масса газа одинакова.
Решение:
Сразу видно, что это задача на колебательное движение, а точнее на определение коэффициента возвращающей силы $k$. Поэтому, рассматривая силы, действующие на поршень (рис.), находящийся в равновесии, получим в проекции на направление тяжести
$mg + (p_{2} - p_{1} )S = 0$.
Если сместить поршень, например, вниз на $\Delta r$, то давление внизу возрастет на $\Delta p_{2}$ и станет равным $p_{2}^{ \prime}$, а сверху уменьшится на $\Delta p_{1}$ и станет равным $p_{1}^{ \prime}$.
Поскольку $mg$ при этом не изменится, то возвращающая сила будет обусловлена изменением давлений $p_{1}$ и $p_{2}$, т. е.
$F_{ \tau} = - (p_{2}^{ \prime} - p_{2} ) S + (p_{1}^{ \prime} - p_{1} )S$.
В соответствии идеального состояния газа $p = \frac{M}{ \mu} \frac{RT}{V}$. Поэтому, подставляя значения $p_{1}, p_{1}^{ \prime}, p_{2}$ и $p_{2}^{ \prime}$ в предыдущую формулу, получим
$F_{ \tau} = \frac{M}{ \mu} RT \left [ - \left ( \frac{1}{V_{2}^{ \prime} } \right ) + \left ( \frac{1}{V_{1}^{ \prime} } - \frac{1}{V_{1} } \right ) \right ]S = \frac{MRT}{ \mu} \left ( - \frac{V_{2} - V_{2}^{ \prime} }{V_{2}V_{2}^{ \prime} } + \frac{V_{1} - V_{1}^{ \prime} }{V_{1}V_{1}^{ \prime} } \right ) S$.
Вводя обозначения $V_{2}^{ \prime} - V_{2} = \Delta V_{2}$ и $V_{1}^{ \prime} - V_{1} = \Delta V_{1}$ и учитывая, что $\Delta V_{1} = - \Delta V_{2}$ (насколько увеличился объем сверху, настолько уменьшился он снизу) и что при малом смещении $V_{2}^{ \prime} \approx V_{2}$ и $V_{1}^{ \prime} \approx V_{1}$, приходим к следующему выражению:
$F_{ \tau} = - \frac{MRT}{ \mu} \left ( \frac{ \Delta V_{2} }{ V_{2}^{2} } - \frac{ \Delta V_{1} }{V_{1}^{2} } \right )S = - \frac{MRT}{ \mu} \left ( \frac{ \Delta V_{2} }{V_{2}^{2} } + \frac{ \Delta V_{2} }{V_{1}^{2} } \right )S = - \frac{MRT}{ \mu} \left ( \frac{1}{V_{2}^{2} } + \frac{1}{V_{1}^{2} } \right ) \Delta V_{2}S = - \frac{MRT}{ \mu} \left ( \frac{1}{V_{2}^{2} } + \frac{1}{V_{1}^{2} } \right ) S^{2} \Delta r$.
С учетом же взаимных направлений векторов $\vec{F}_{ \tau}$ и $\Delta \vec{r}$ получим
$\vec{F}_{ \tau} = - \frac{MRTS^{2} }{ \mu} \left ( \frac{1}{V_{1}^{2} } + \frac{1}{V_{2}^{2} } \right ) \Delta \vec{r}$.
Отсюда ясно, что $k = \frac{MRTS^{2}}{ \mu} \left ( \frac{1}{V_{1}^{2} } + \frac{1}{V_{2}^{2} } \right )$, где $M$ - половина всей массы газа.
Подставляя найденное значение $k$ в формулу для периода, получим
$\tau = 2 \pi \sqrt{ \frac{m}{k} } = 2 \pi \sqrt{ \frac{m}{ \frac{MRTS^{2} }{ \mu} \left ( \frac{1}{V_{1}^{2} } + \frac{1}{V_{2}^{2} } \right ) }}$,
откуда и находим $M$.
Если бы в условии вместо $V_{1}$ и $V_{2}$ фигурировали высоты частей цилиндра $h_{1}$ и $h_{2}$, то можно было бы обойтись без сечения $S$: именно, с учетом $V = Sh$ получили бы
$\tau = 2 \pi \sqrt{ \frac{m}{ \frac{MRTS^{2} }{ \mu} \left ( \frac{1}{h_{1}^{2} } + \frac{1}{h_{2}^{2} } \right ) }}$.
В вертикальном замкнутом цилиндре сечением $S$ находится газ с молекулярным весом $\mu$. Способный без трения перемещаться поршень массы $m$ делит объем, занимаемый газом, на части $V_{1}$ и $V_{2}$. Температура всей системы неизменна и равна $T$. Зная, что период колебания поршня равен $\tau$, найти массу газа в цилиндре, считая, что над и под поршнем масса газа одинакова.
Решение:
Сразу видно, что это задача на колебательное движение, а точнее на определение коэффициента возвращающей силы $k$. Поэтому, рассматривая силы, действующие на поршень (рис.), находящийся в равновесии, получим в проекции на направление тяжести
$mg + (p_{2} - p_{1} )S = 0$.
Если сместить поршень, например, вниз на $\Delta r$, то давление внизу возрастет на $\Delta p_{2}$ и станет равным $p_{2}^{ \prime}$, а сверху уменьшится на $\Delta p_{1}$ и станет равным $p_{1}^{ \prime}$.
Поскольку $mg$ при этом не изменится, то возвращающая сила будет обусловлена изменением давлений $p_{1}$ и $p_{2}$, т. е.
$F_{ \tau} = - (p_{2}^{ \prime} - p_{2} ) S + (p_{1}^{ \prime} - p_{1} )S$.
В соответствии идеального состояния газа $p = \frac{M}{ \mu} \frac{RT}{V}$. Поэтому, подставляя значения $p_{1}, p_{1}^{ \prime}, p_{2}$ и $p_{2}^{ \prime}$ в предыдущую формулу, получим
$F_{ \tau} = \frac{M}{ \mu} RT \left [ - \left ( \frac{1}{V_{2}^{ \prime} } \right ) + \left ( \frac{1}{V_{1}^{ \prime} } - \frac{1}{V_{1} } \right ) \right ]S = \frac{MRT}{ \mu} \left ( - \frac{V_{2} - V_{2}^{ \prime} }{V_{2}V_{2}^{ \prime} } + \frac{V_{1} - V_{1}^{ \prime} }{V_{1}V_{1}^{ \prime} } \right ) S$.
Вводя обозначения $V_{2}^{ \prime} - V_{2} = \Delta V_{2}$ и $V_{1}^{ \prime} - V_{1} = \Delta V_{1}$ и учитывая, что $\Delta V_{1} = - \Delta V_{2}$ (насколько увеличился объем сверху, настолько уменьшился он снизу) и что при малом смещении $V_{2}^{ \prime} \approx V_{2}$ и $V_{1}^{ \prime} \approx V_{1}$, приходим к следующему выражению:
$F_{ \tau} = - \frac{MRT}{ \mu} \left ( \frac{ \Delta V_{2} }{ V_{2}^{2} } - \frac{ \Delta V_{1} }{V_{1}^{2} } \right )S = - \frac{MRT}{ \mu} \left ( \frac{ \Delta V_{2} }{V_{2}^{2} } + \frac{ \Delta V_{2} }{V_{1}^{2} } \right )S = - \frac{MRT}{ \mu} \left ( \frac{1}{V_{2}^{2} } + \frac{1}{V_{1}^{2} } \right ) \Delta V_{2}S = - \frac{MRT}{ \mu} \left ( \frac{1}{V_{2}^{2} } + \frac{1}{V_{1}^{2} } \right ) S^{2} \Delta r$.
С учетом же взаимных направлений векторов $\vec{F}_{ \tau}$ и $\Delta \vec{r}$ получим
$\vec{F}_{ \tau} = - \frac{MRTS^{2} }{ \mu} \left ( \frac{1}{V_{1}^{2} } + \frac{1}{V_{2}^{2} } \right ) \Delta \vec{r}$.
Отсюда ясно, что $k = \frac{MRTS^{2}}{ \mu} \left ( \frac{1}{V_{1}^{2} } + \frac{1}{V_{2}^{2} } \right )$, где $M$ - половина всей массы газа.
Подставляя найденное значение $k$ в формулу для периода, получим
$\tau = 2 \pi \sqrt{ \frac{m}{k} } = 2 \pi \sqrt{ \frac{m}{ \frac{MRTS^{2} }{ \mu} \left ( \frac{1}{V_{1}^{2} } + \frac{1}{V_{2}^{2} } \right ) }}$,
откуда и находим $M$.
Если бы в условии вместо $V_{1}$ и $V_{2}$ фигурировали высоты частей цилиндра $h_{1}$ и $h_{2}$, то можно было бы обойтись без сечения $S$: именно, с учетом $V = Sh$ получили бы
$\tau = 2 \pi \sqrt{ \frac{m}{ \frac{MRTS^{2} }{ \mu} \left ( \frac{1}{h_{1}^{2} } + \frac{1}{h_{2}^{2} } \right ) }}$.
