Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 11176
2019-11-08 
Сферические сосуды 1 и 2 объемами $V_{1}$ и $V_{2}$ соединены трубкой сечения $S$, в которой находится ртуть. Начальное положение ртути указано на рис. жирным пунктиром. В результате изменения температуры вокруг сосудов уровни ртути в обеих частях трубки стали одинаковыми. Зная исходную разность уровней ртути, найти первоначальные и конечные давления газов в сосудах, а также отношение конечной температуры к начальной. Капиллярностью, давлением паров ртути и ее расширением пренебречь.
Решение:
Поскольку в задаче фигурируют четыре состояния газа, то необходимо написать уравнение Клапейрона - Менделеева для каждого из них.
Для газа, находящегося в левом сосуде 1,
$p_{1}V_{1} = \frac{M_{1} }{ \mu_{1} }RT_{1}$, (1)
$p_{1}^{ \prime}V_{1}^{ \prime} = \frac{M_{1} }{ \mu_{1} } RT_{1}^{ \prime}$. (2)
Для второго газа, находящегося в сосуде 2,
$p_{2}V_{2} = \frac{M_{2} }{ \mu_{2} }RT_{2}$, (3)
$p_{2}^{ \prime}V_{2}^{ \prime} = \frac{M_{2} }{ \mu_{2} } RT_{2}^{ \prime}$. (4)
Неизвестные и неинтересующие нас $\frac{M_{1} }{ \mu_{1} }$ и $\frac{M_{2} }{ \mu_{2} }$ сразу исключаем делением (1) на (2) и (3) на (4). Учитывая, что температура газов в сосудах равна температуре окружающей среды, т е. $T_{1} = T_{2} = T$ и $T_{1}^{ \prime} = T_{2}^{ \prime} = T^{ \prime}$, получаем в результате указанного деления
$\frac{p_{1}V_{1} }{ p_{1}^{ \prime}V_{1}^{ \prime} } = \frac{T}{T^{ \prime} }$, (5)
$\frac{p_{2}V_{2} }{ p_{2}^{ \prime}V_{2}^{ \prime} } = \frac{T}{T^{ \prime} }$, (6)
где штрихом помечены конечные состояния газов.
В два уравнения (5) и (6) входят пять интересующих нас величин $p_{1}, p_{2}, p_{1}^{ \prime}, p_{2}^{ \prime}$ и $\frac{T^{ \prime} }{T}$. Необходимы дополнительные уравнения. Они получаются при рассмотрении равновесия ртути в начальном и конечном состояниях. Равновесие всей ртути в конечном состоянии (уровни ее слева и справа на одной высоте) дает
$p_{2}^{ \prime} = p_{1}^{ \prime}$. (7)
Очевидно также, что в результате изменения температуры давление газа в сосуде 1 увеличилось, а в сосуде 2 уменьшилось на одну и ту же величину $\rho g \frac{ \Delta h}{2}$ (высоты уровней ртути изменялись на $\frac{ \Delta h}{2}$). Это приводит к
$p_{1}^{ \prime} = p_{1} + \rho g \frac{ \Delta h}{2}$, (8)
$p_{2}^{ \prime} = p_{2} - \rho g \frac{ \Delta h}{2}$. (9)
Учет изменения объемов газов дает
$V_{1}^{ \prime} = V_{1} + S \frac{ \Delta h}{2}$, (10)
$V_{2}^{ \prime} = V_{2} - S \frac{ \Delta h}{2}$. (11)
Решение системы семи уравнений (5) - (11) дает ответ на вопросы задачи. Именно, приравнивая левые части уравнений (5) и (6) и учитывая (7), получим
$\frac{p_{1}V_{1} }{V_{1}^{ \prime} } = \frac{p_{2}V_{2} }{V_{2}^{ \prime} }$. (12)
Сравнивая правые части (8) и (9), получим
$p_{2} = p_{1} + \rho g \Delta h$. (13)
Подставляя теперь (10), (11) и (13) в (12), получим
$\frac{p_{1}V_{1} }{V_{1} + \frac{S \Delta h}{2} } = \frac{(p_{1} + \rho gh ) V_{2} }{V_{2} - \frac{S \Delta h}{2} }$.
Отсюда находим $p_{1}$, что при подстановке в (13), (8) и (9) дает возможность найти $p_{2}, p_{1}^{ \prime}$ и $p_{2}^{ \prime}$. Подставляя найденные значения, например, в (5), найдем $\frac{T^{ \prime} }{T}$, чем и исчерпывается решение задачи. Из-за громоздкости ответа мы его не приводим.
Ясно, что при решении задачи плотность ртути полагалась не зависящей от температуры, что возможно лишь при небольших отличиях температур $T$ и $T^{ \prime}$ от температуры $T_{0} = 273^{ \circ} К$, при которой обычно и приводятся табличные данные величин, зависящих от температуры.
Сферические сосуды 1 и 2 объемами $V_{1}$ и $V_{2}$ соединены трубкой сечения $S$, в которой находится ртуть. Начальное положение ртути указано на рис. жирным пунктиром. В результате изменения температуры вокруг сосудов уровни ртути в обеих частях трубки стали одинаковыми. Зная исходную разность уровней ртути, найти первоначальные и конечные давления газов в сосудах, а также отношение конечной температуры к начальной. Капиллярностью, давлением паров ртути и ее расширением пренебречь.
Решение:
Поскольку в задаче фигурируют четыре состояния газа, то необходимо написать уравнение Клапейрона - Менделеева для каждого из них.
Для газа, находящегося в левом сосуде 1,
$p_{1}V_{1} = \frac{M_{1} }{ \mu_{1} }RT_{1}$, (1)
$p_{1}^{ \prime}V_{1}^{ \prime} = \frac{M_{1} }{ \mu_{1} } RT_{1}^{ \prime}$. (2)
Для второго газа, находящегося в сосуде 2,
$p_{2}V_{2} = \frac{M_{2} }{ \mu_{2} }RT_{2}$, (3)
$p_{2}^{ \prime}V_{2}^{ \prime} = \frac{M_{2} }{ \mu_{2} } RT_{2}^{ \prime}$. (4)
Неизвестные и неинтересующие нас $\frac{M_{1} }{ \mu_{1} }$ и $\frac{M_{2} }{ \mu_{2} }$ сразу исключаем делением (1) на (2) и (3) на (4). Учитывая, что температура газов в сосудах равна температуре окружающей среды, т е. $T_{1} = T_{2} = T$ и $T_{1}^{ \prime} = T_{2}^{ \prime} = T^{ \prime}$, получаем в результате указанного деления
$\frac{p_{1}V_{1} }{ p_{1}^{ \prime}V_{1}^{ \prime} } = \frac{T}{T^{ \prime} }$, (5)
$\frac{p_{2}V_{2} }{ p_{2}^{ \prime}V_{2}^{ \prime} } = \frac{T}{T^{ \prime} }$, (6)
где штрихом помечены конечные состояния газов.
В два уравнения (5) и (6) входят пять интересующих нас величин $p_{1}, p_{2}, p_{1}^{ \prime}, p_{2}^{ \prime}$ и $\frac{T^{ \prime} }{T}$. Необходимы дополнительные уравнения. Они получаются при рассмотрении равновесия ртути в начальном и конечном состояниях. Равновесие всей ртути в конечном состоянии (уровни ее слева и справа на одной высоте) дает
$p_{2}^{ \prime} = p_{1}^{ \prime}$. (7)
Очевидно также, что в результате изменения температуры давление газа в сосуде 1 увеличилось, а в сосуде 2 уменьшилось на одну и ту же величину $\rho g \frac{ \Delta h}{2}$ (высоты уровней ртути изменялись на $\frac{ \Delta h}{2}$). Это приводит к
$p_{1}^{ \prime} = p_{1} + \rho g \frac{ \Delta h}{2}$, (8)
$p_{2}^{ \prime} = p_{2} - \rho g \frac{ \Delta h}{2}$. (9)
Учет изменения объемов газов дает
$V_{1}^{ \prime} = V_{1} + S \frac{ \Delta h}{2}$, (10)
$V_{2}^{ \prime} = V_{2} - S \frac{ \Delta h}{2}$. (11)
Решение системы семи уравнений (5) - (11) дает ответ на вопросы задачи. Именно, приравнивая левые части уравнений (5) и (6) и учитывая (7), получим
$\frac{p_{1}V_{1} }{V_{1}^{ \prime} } = \frac{p_{2}V_{2} }{V_{2}^{ \prime} }$. (12)
Сравнивая правые части (8) и (9), получим
$p_{2} = p_{1} + \rho g \Delta h$. (13)
Подставляя теперь (10), (11) и (13) в (12), получим
$\frac{p_{1}V_{1} }{V_{1} + \frac{S \Delta h}{2} } = \frac{(p_{1} + \rho gh ) V_{2} }{V_{2} - \frac{S \Delta h}{2} }$.
Отсюда находим $p_{1}$, что при подстановке в (13), (8) и (9) дает возможность найти $p_{2}, p_{1}^{ \prime}$ и $p_{2}^{ \prime}$. Подставляя найденные значения, например, в (5), найдем $\frac{T^{ \prime} }{T}$, чем и исчерпывается решение задачи. Из-за громоздкости ответа мы его не приводим.
Ясно, что при решении задачи плотность ртути полагалась не зависящей от температуры, что возможно лишь при небольших отличиях температур $T$ и $T^{ \prime}$ от температуры $T_{0} = 273^{ \circ} К$, при которой обычно и приводятся табличные данные величин, зависящих от температуры.
