Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 11164
2019-11-08 
Цилиндрический брусок (рис.) находится в вертикальном положении на границе раздела двух жидкостей и делится этой границей на дне равные части. Найги период малых вертикальных колебаний бруска в пренебрежении силами трения.
Решение:
Решение задачи сводится к нахождению коэффициента возвращающей силы $k$. Если из равновесного положения сместить брусок на $\Delta \vec{r}$, например вниз, то возникнет возвращающая сила, направленная вверх и обусловленная изменением выталкивающей силы.
Действительно,
$\vec{F} = ( \vec{F}_{выт}^{ \prime} + m \vec{g}) - ( \vec{F}_{выт} + m \vec{g}) = \Delta \vec{F}_{выт}$.
Но $\Delta \vec{F}_{выт}$ складывается из $\Delta \vec{F}_{1}$ и $\Delta \vec{F}_{2}$, так как брусок плавает в двух жидкостях. При этом $\Delta \vec{F}_{1}$ - это прибыль архимедовой силы со стороны нижней жидкости и направлена вверх (навстречу $\Delta \vec{r}$), а $\Delta \vec{F}_{2}$ - убыль архимедовой силы со стороны верхней жидкости и направлена в сторону $\Delta \vec{r}$ (см. рис.). Поэтому
$\vec{F} = \Delta \vec{F}_{выт} = - \rho_{1} g \Delta \vec{r} + \rho_{2} gS \Delta \vec{r} = - gS ( \rho_{1} - \rho_{2} ) \Delta \vec{r}$,
откуда $k = gS ( \rho_{1} - \rho_{2})$.
Для периода качаний имеем
$T = 2 \pi \sqrt{ \frac{m}{k} } = 2 \pi \sqrt{ \frac{m}{gS ( \rho_{1} - \rho_{2} ) } }$.
Массу бруска определим из условия равновесия бруска
$m \vec{g} + \vec{F}_{1} + \vec{F}_{2} = 0$,
или в проекции на направление тяжести с учетом $V_{1} = V_{2} = \frac{V}{2}$
$mg - \rho_{1} g \frac{V}{2} - \rho_{2}g \frac{V}{2} = 0$,
откуда $m = ( \rho_{1} + \rho_{2}) \frac{V}{2}$ или $m = ( \rho_{1} + \rho_{2} ) \frac{lS}{2}$.
Подставляя это значение $m$ в формулу для $T$, получим
$T = 2 \pi \sqrt{ \frac{l ( \rho_{1} + \rho_{2} ) }{2g ( \rho_{1} - \rho_{2} ) } }$.
При $\rho_{1} = \rho_{2}$ $T \rightarrow \infty$, что означает отсутствие колебаний.
Ясно, что для численного ответа на вопрос задачи необходимо задание входящих в решение величин.
Цилиндрический брусок (рис.) находится в вертикальном положении на границе раздела двух жидкостей и делится этой границей на дне равные части. Найги период малых вертикальных колебаний бруска в пренебрежении силами трения.
Решение:
Решение задачи сводится к нахождению коэффициента возвращающей силы $k$. Если из равновесного положения сместить брусок на $\Delta \vec{r}$, например вниз, то возникнет возвращающая сила, направленная вверх и обусловленная изменением выталкивающей силы.
Действительно,
$\vec{F} = ( \vec{F}_{выт}^{ \prime} + m \vec{g}) - ( \vec{F}_{выт} + m \vec{g}) = \Delta \vec{F}_{выт}$.
Но $\Delta \vec{F}_{выт}$ складывается из $\Delta \vec{F}_{1}$ и $\Delta \vec{F}_{2}$, так как брусок плавает в двух жидкостях. При этом $\Delta \vec{F}_{1}$ - это прибыль архимедовой силы со стороны нижней жидкости и направлена вверх (навстречу $\Delta \vec{r}$), а $\Delta \vec{F}_{2}$ - убыль архимедовой силы со стороны верхней жидкости и направлена в сторону $\Delta \vec{r}$ (см. рис.). Поэтому
$\vec{F} = \Delta \vec{F}_{выт} = - \rho_{1} g \Delta \vec{r} + \rho_{2} gS \Delta \vec{r} = - gS ( \rho_{1} - \rho_{2} ) \Delta \vec{r}$,
откуда $k = gS ( \rho_{1} - \rho_{2})$.
Для периода качаний имеем
$T = 2 \pi \sqrt{ \frac{m}{k} } = 2 \pi \sqrt{ \frac{m}{gS ( \rho_{1} - \rho_{2} ) } }$.
Массу бруска определим из условия равновесия бруска
$m \vec{g} + \vec{F}_{1} + \vec{F}_{2} = 0$,
или в проекции на направление тяжести с учетом $V_{1} = V_{2} = \frac{V}{2}$
$mg - \rho_{1} g \frac{V}{2} - \rho_{2}g \frac{V}{2} = 0$,
откуда $m = ( \rho_{1} + \rho_{2}) \frac{V}{2}$ или $m = ( \rho_{1} + \rho_{2} ) \frac{lS}{2}$.
Подставляя это значение $m$ в формулу для $T$, получим
$T = 2 \pi \sqrt{ \frac{l ( \rho_{1} + \rho_{2} ) }{2g ( \rho_{1} - \rho_{2} ) } }$.
При $\rho_{1} = \rho_{2}$ $T \rightarrow \infty$, что означает отсутствие колебаний.
Ясно, что для численного ответа на вопрос задачи необходимо задание входящих в решение величин.
