Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 11163
2019-11-08 
В цилиндрическом ведре массой $M$, высотой $H$ и сечением $S$ насыпан песок плотности $\rho$. Расстояние от точки подвеса до дна ведра $l$. Считая дно ведра невесомым, найти зависимость частоты малых собственных колебаний получившегося маятника от уровня песка в ведре (рис.).
Решение:
Если бы вместо описанной системы качалась материальная точка, то решение было бы тривиальным. Но материальная точка в данном случае отличается от ведра с песком тем, что массы ведра и песка не сосредоточены в малом объеме, т. е. систему нельзя считать материальной точкой Но если бы наша система сжалась в точку, расположенную в центре масс системы, то период качаний никак не изменился бы (сопротивления кет, поэтому размеры системы роли не играют). Отсюда вывод - заменить имеющуюся у нас систему материальной точкой, расположенной в центре масс системы. Тогда $f = \frac{1}{2 \pi} \sqrt{ \frac{g}{l^{ \prime} } }$, где $l^{ \prime}$ - расстояние от
точки подвеса до центра масс системы (так называемая приведен' ная длина физического маятника, т. е. качающегося протяженного тела).
Но $l^{ \prime}$ находим по формуле для центра масс системы, взяв за начало отсчета точку подвеса (с учетом того, что из-за симметрии системы относительно линии точка подвеса - ось ведра центр масс находится на этой линии):
$l^{ \prime} = \frac{Ml_{в} +M_{п}l_{п} }{M + M_{п} }$,
где $l_{в}$ и $l_{п}$ - расстояния от точки подвеса до центра масс ведра и песка соответственно: $M_{п}$ - масса песка, равная $\rho V = \rho Sh$. Так как $l_{в} = l - \frac{H}{2}$ и $l_{п} = l - \frac{h}{2}$, то
$l^{ \prime} = \frac{M \left ( l - \frac{H}{2} \right ) + \rho Sh \left ( l - \frac{h}{2} \right ) }{M + \rho Sh}$. (*)
Подставляя (*) в формулу для частоты, получим ответ.
Очевидно, что при малых размерах ведра (т. е. при $H \ll l$) получим $l^{ \prime} = l$, как и должно быть, ибо в этом случае ведро можно рассматривать как материальную точку.
Читатель, возможно, захочет исследовать результат для различных случаев, например, $H = l, h = H, h = \frac{H}{2}, h = 0, M \gg \rho Sh$ и т. д.
Видно, что в числитель (*) входит $h^{2}$, а в знаменатель $h$. Это означает, что при изменении $h$ числитель и знаменатель меняются неодинаково. Поэтому если $h$ меняется от $H$ до 0, то дробь сперва растет от $\left ( l - \frac{H}{2} \right )$ до некоторой величины, а потом начинает опять убывать до $\left ( l - \frac{H}{2} \right )$.
Физически это ясно: когда ведро полно песку (т. е. $h = H$), центры масс ведра и песка совпадают и $l^{ \prime} = l - \frac{H}{2}$. Когда песок высыпается, то его центр масс опускается и $l^{ \prime}$ сперва растет. Но когда песок высыплется (т. е. $h = 0$), то качаться будет лишь ведро и $l^{ \prime} = l - \frac{H}{2}$.
В цилиндрическом ведре массой $M$, высотой $H$ и сечением $S$ насыпан песок плотности $\rho$. Расстояние от точки подвеса до дна ведра $l$. Считая дно ведра невесомым, найти зависимость частоты малых собственных колебаний получившегося маятника от уровня песка в ведре (рис.).
Решение:
Если бы вместо описанной системы качалась материальная точка, то решение было бы тривиальным. Но материальная точка в данном случае отличается от ведра с песком тем, что массы ведра и песка не сосредоточены в малом объеме, т. е. систему нельзя считать материальной точкой Но если бы наша система сжалась в точку, расположенную в центре масс системы, то период качаний никак не изменился бы (сопротивления кет, поэтому размеры системы роли не играют). Отсюда вывод - заменить имеющуюся у нас систему материальной точкой, расположенной в центре масс системы. Тогда $f = \frac{1}{2 \pi} \sqrt{ \frac{g}{l^{ \prime} } }$, где $l^{ \prime}$ - расстояние от
точки подвеса до центра масс системы (так называемая приведен' ная длина физического маятника, т. е. качающегося протяженного тела).
Но $l^{ \prime}$ находим по формуле для центра масс системы, взяв за начало отсчета точку подвеса (с учетом того, что из-за симметрии системы относительно линии точка подвеса - ось ведра центр масс находится на этой линии):
$l^{ \prime} = \frac{Ml_{в} +M_{п}l_{п} }{M + M_{п} }$,
где $l_{в}$ и $l_{п}$ - расстояния от точки подвеса до центра масс ведра и песка соответственно: $M_{п}$ - масса песка, равная $\rho V = \rho Sh$. Так как $l_{в} = l - \frac{H}{2}$ и $l_{п} = l - \frac{h}{2}$, то
$l^{ \prime} = \frac{M \left ( l - \frac{H}{2} \right ) + \rho Sh \left ( l - \frac{h}{2} \right ) }{M + \rho Sh}$. (*)
Подставляя (*) в формулу для частоты, получим ответ.
Очевидно, что при малых размерах ведра (т. е. при $H \ll l$) получим $l^{ \prime} = l$, как и должно быть, ибо в этом случае ведро можно рассматривать как материальную точку.
Читатель, возможно, захочет исследовать результат для различных случаев, например, $H = l, h = H, h = \frac{H}{2}, h = 0, M \gg \rho Sh$ и т. д.
Видно, что в числитель (*) входит $h^{2}$, а в знаменатель $h$. Это означает, что при изменении $h$ числитель и знаменатель меняются неодинаково. Поэтому если $h$ меняется от $H$ до 0, то дробь сперва растет от $\left ( l - \frac{H}{2} \right )$ до некоторой величины, а потом начинает опять убывать до $\left ( l - \frac{H}{2} \right )$.
Физически это ясно: когда ведро полно песку (т. е. $h = H$), центры масс ведра и песка совпадают и $l^{ \prime} = l - \frac{H}{2}$. Когда песок высыпается, то его центр масс опускается и $l^{ \prime}$ сперва растет. Но когда песок высыплется (т. е. $h = 0$), то качаться будет лишь ведро и $l^{ \prime} = l - \frac{H}{2}$.
