Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 1116
2016-09-19 
Планета, состоящая из несжимаемой жидкости, вращается вокруг своей оси с угловой скоростью $\omega$. Средний радиус планеты $R$, масса планеты $M$. Оцените несферичность $\delta$ планеты, связанную с вращением, считая $\delta$ малой величиной (несферичностью называется величина $\delta = (R_{2} — R_{1})/R_{1}$, где $R_{2}$ и $R_{1}$ — расстояния от центра планеты до экватора и до полюса соответственно).
Решение:
Так как планета вращается вокруг неподвижной оси, и все действующие в системе силы являются центральными, то эта ось является осью симметрии планеты. Рассмотрим любое сечение планеты плоскостью, в которой лежит ось вращения, и будем решать двумерную задачу о поиске границы сечения. Введём прямоугольную систему координат $OXY$ с началом в центре планеты, ось $Y$ сонаправим с осью вращения планеты (см. рис.). Поверхность планеты получится в результате вращения найденной кривой $y(x)$ вокруг указанной оси.
Перейдём в неинерциальную систему отсчёта, вращающуюся вместе с планетой с угловой скоростью $\omega$. В этой системе отсчёта жидкость покоится. Потенциальная энергия любого элемента жидкости массой $\Delta m$, лежащего на поверхности планеты и имеющего координаты $(x, y)$, складывается из потенциальной энергии в поле силы тяжести $U_{гр}$ и потенциальной энергии в поле центробежных сил $U_{цб}$. Поскольку несферичность планеты мала, то можно считать, что создаваемое ею гравитационное поле почти не отличается от поля сферической планеты, и $U_{гр} \approx - \frac{G \Delta m M}{ \sqrt{x^{2} + y^{2}}}$, где $G$ — гравитационная постоянная. Для энергии $U_{цв}$ имеем: $U_{цв} = — \Delta m \omega^{2} \omega^{2} x^{2}/2$.
Так как все точки, лежащие на поверхности планеты, неподвижны, а следовательно, имеют одинаковую энергию, то сумма $U_{гр}$ и $U_{цб}$ есть величина постоянная при любых $x$ и $y$ (иначе говоря, поверхность планеты является эквипотенциалью):
$- \frac{G \Delta m M}{ \sqrt{x^{2} + y^{2}}} - \frac{ \Delta m \omega^{2} x^{2}}{2} = const$.
Написанное уравнение представляет собой уравнение искомой границы сечения. Постоянную величину $const$ найдём из условия: $y = R_{1}$ при $x = 0$. Отсюда $const = — G \Delta m M/R_{1}$ (заметим, что $R_{1}$ неизвестно). После этого уравнение границы сечения принимает вид:
$GM \left ( \frac{1}{R_{1}} - \frac{1}{ \sqrt{x^{2} + y^{2}}} \right ) = \frac{ \omega^{2} x^{2}}{2}$
При $y = 0$ координата $x$ принимает значение $x = R_{2}$2 (тоже неизвестное). Тогда из последнего уравнения получаем:
$GM \frac{R_{2}-R_{1}}{R_{1}} = \frac{ \omega^{2}R_{2}^{3}}{2}$.
Учитывая, что несферичность мала, то есть $R_{1},R_{2} \sim R$, и что $\frac{R_{2}-R_{1}}{R_{1}} = \delta$, окончательно находим: $\delta \approx \frac{ \omega^{2}R^{3}}{2GM}$.
Заметим, что несферичность попросту равна отношению $U_{цб}/U_{гр}$ при $x = R, y = 0$, то есть на экваторе планеты.
Интересно воспользоваться полученной формулой для оценки величины $\delta_{з}$ несферичности Земли. Учитывая, что угловая скорость суточного вращения Земли равна $\omega = 2 \pi / T \approx 7,3 \cdot 10^{-5} с^{-1}$, средний радиус Земли $R \approx 6370 км$, а ускорение свободного падения на её поверхности $g \approx 9,8 м/с^{2}$, получим: $\delta_{з} = \frac{ \omega^{2}R}{2g} \approx \frac{1}{580}$. На самом деле несферичность Земли составляет $\sim 1/300$, то есть наша оценка, основанная на модели жидкой планеты, является довольно грубой.
Планета, состоящая из несжимаемой жидкости, вращается вокруг своей оси с угловой скоростью $\omega$. Средний радиус планеты $R$, масса планеты $M$. Оцените несферичность $\delta$ планеты, связанную с вращением, считая $\delta$ малой величиной (несферичностью называется величина $\delta = (R_{2} — R_{1})/R_{1}$, где $R_{2}$ и $R_{1}$ — расстояния от центра планеты до экватора и до полюса соответственно).
Решение:
Так как планета вращается вокруг неподвижной оси, и все действующие в системе силы являются центральными, то эта ось является осью симметрии планеты. Рассмотрим любое сечение планеты плоскостью, в которой лежит ось вращения, и будем решать двумерную задачу о поиске границы сечения. Введём прямоугольную систему координат $OXY$ с началом в центре планеты, ось $Y$ сонаправим с осью вращения планеты (см. рис.). Поверхность планеты получится в результате вращения найденной кривой $y(x)$ вокруг указанной оси.
Перейдём в неинерциальную систему отсчёта, вращающуюся вместе с планетой с угловой скоростью $\omega$. В этой системе отсчёта жидкость покоится. Потенциальная энергия любого элемента жидкости массой $\Delta m$, лежащего на поверхности планеты и имеющего координаты $(x, y)$, складывается из потенциальной энергии в поле силы тяжести $U_{гр}$ и потенциальной энергии в поле центробежных сил $U_{цб}$. Поскольку несферичность планеты мала, то можно считать, что создаваемое ею гравитационное поле почти не отличается от поля сферической планеты, и $U_{гр} \approx - \frac{G \Delta m M}{ \sqrt{x^{2} + y^{2}}}$, где $G$ — гравитационная постоянная. Для энергии $U_{цв}$ имеем: $U_{цв} = — \Delta m \omega^{2} \omega^{2} x^{2}/2$.
Так как все точки, лежащие на поверхности планеты, неподвижны, а следовательно, имеют одинаковую энергию, то сумма $U_{гр}$ и $U_{цб}$ есть величина постоянная при любых $x$ и $y$ (иначе говоря, поверхность планеты является эквипотенциалью):
$- \frac{G \Delta m M}{ \sqrt{x^{2} + y^{2}}} - \frac{ \Delta m \omega^{2} x^{2}}{2} = const$.
Написанное уравнение представляет собой уравнение искомой границы сечения. Постоянную величину $const$ найдём из условия: $y = R_{1}$ при $x = 0$. Отсюда $const = — G \Delta m M/R_{1}$ (заметим, что $R_{1}$ неизвестно). После этого уравнение границы сечения принимает вид:
$GM \left ( \frac{1}{R_{1}} - \frac{1}{ \sqrt{x^{2} + y^{2}}} \right ) = \frac{ \omega^{2} x^{2}}{2}$
При $y = 0$ координата $x$ принимает значение $x = R_{2}$2 (тоже неизвестное). Тогда из последнего уравнения получаем:
$GM \frac{R_{2}-R_{1}}{R_{1}} = \frac{ \omega^{2}R_{2}^{3}}{2}$.
Учитывая, что несферичность мала, то есть $R_{1},R_{2} \sim R$, и что $\frac{R_{2}-R_{1}}{R_{1}} = \delta$, окончательно находим: $\delta \approx \frac{ \omega^{2}R^{3}}{2GM}$.
Заметим, что несферичность попросту равна отношению $U_{цб}/U_{гр}$ при $x = R, y = 0$, то есть на экваторе планеты.
Интересно воспользоваться полученной формулой для оценки величины $\delta_{з}$ несферичности Земли. Учитывая, что угловая скорость суточного вращения Земли равна $\omega = 2 \pi / T \approx 7,3 \cdot 10^{-5} с^{-1}$, средний радиус Земли $R \approx 6370 км$, а ускорение свободного падения на её поверхности $g \approx 9,8 м/с^{2}$, получим: $\delta_{з} = \frac{ \omega^{2}R}{2g} \approx \frac{1}{580}$. На самом деле несферичность Земли составляет $\sim 1/300$, то есть наша оценка, основанная на модели жидкой планеты, является довольно грубой.
