Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 11152
2019-11-08 
В сообщающиеся сосуды с площадями поперечного сечения $S_{1}$ и $S_{2}$ была налита жидкость $d_{0}$. При этом уровни в обоих сосудах оказались на одной высоте. Какова будет разность уровней этой жидкости, если в правый сосуд налить $P_{2}$ легкой жидкости? Коэффициент жесткости пружины равен $k$. Правый сосуд открыт (рис.). Поршень все время соприкасается с жидкостью.
Решение:
Исходим из того, что на уровне $h^{ \prime}$ давления одинаковы, т. е.
$p_{прав} = p_{лев}$
или
$p_{внешн. прав} + dh = p_{внешн. лев} + d_{0} \Delta h$,
где $p_{внешн. прав}$ -это давление окружающей сосуды среды;
$p_{внешн. лев}$ складывается из давления окружающей среды и $\frac{Q}{S_{1} }$, где $Q$ - сила взаимодействия поршня и жидкости.
Обозначая давление среды $p_{0}$, имеем
$p_{0} + dh = p_{0} + \frac{Q}{S_{1} } + d_{0} \Delta h$,
но
$dh = \frac{P_{2} }{S_{2} }$,
a $Q = P - F_{упр}$ (из условия равновесия поршня), поэтому
$\frac{P_{2}}{S_{2} } = \frac{P - kx}{S_{1} } + d_{0} \Delta h$. (1)
Видно, что для ответа на вопрос необходимо найти $x$. Найдем $x$ на основании следующих соображений.
Новая деформация пружины $x$ меньше той $x_{0}$, которая была до наливания второй жидкости на $\Delta h_{1}$, где $\Delta h_{1}$ - увеличение уровня жидкости в левом сосуде, т. е.
$x = x_{0} - \Delta h_{1}$ или $x = \frac{P}{k} - \Delta h_{1}$ (2)
(поскольку уровни жидкости были на одинаковой высоте, то сила взаимодействия поршня и жидкости была равна нулю, поэтому $x_{0} = \frac{P}{k}$). Так как
$\Delta h = \Delta h_{1} + \Delta h_{2}$, и $\Delta V_{1} = \Delta V_{2}$, (3)
где $\Delta h_{2}$ - опускание уровня первой жидкости в правом сосуде, а $\Delta V_{1}$ и $\Delta v_{2}$ - количество первой жидкости, перешедшей из правого сосуда в левый при наливании второй жидкости, и поскольку $\Delta V_{i} = S_{i} \Delta h_{i}$, то из (3) получим
$\Delta h_{1} = \frac{ \Delta h}{ \left ( 1 + \frac{S_{1} }{S_{2} } \right ) }$.
Подставляя найденное $\Delta h_{1}$ в (2), потом значение $x$ из (2) в (1), получим
$\frac{P_{2} }{S_{2} } = \frac{ P - k \left ( \frac{P}{k} - \frac{ \Delta h}{1 + \frac{S_{1} }{S_{2} } } \right ) }{S_{1} } + d_{0} \Delta h$,
откуда
$\Delta h = \frac{P_{2} }{S_{2} \left ( \frac{kS_{2} }{(S_{1} + S_{2} )S_{1} } + d_{0} \right ) }$.
Замечание. Уравнение (1) написано в том предположении, что пружина после доливания жидкости осталась растянутой, но в меньшей мере, чем была; если бы $P_{2}$ было достаточно велико, то пружина могла оказаться сжатой и вместо уравнения (1) имело бы место уравнение ($1^{ \prime}$)
$\frac{P_{2}}{S_{2} } = \frac{P + kx}{S_{1} } + d_{0} \Delta h$, ($1^{ \prime}$)
а вместо уравнения (2) - уравнение ($2^{ \prime}$)
$x = \Delta h_{1} - \frac{P}{k}$, ($2^{ \prime} $)
и результат решения не изменился бы.
В сообщающиеся сосуды с площадями поперечного сечения $S_{1}$ и $S_{2}$ была налита жидкость $d_{0}$. При этом уровни в обоих сосудах оказались на одной высоте. Какова будет разность уровней этой жидкости, если в правый сосуд налить $P_{2}$ легкой жидкости? Коэффициент жесткости пружины равен $k$. Правый сосуд открыт (рис.). Поршень все время соприкасается с жидкостью.
Решение:
Исходим из того, что на уровне $h^{ \prime}$ давления одинаковы, т. е.
$p_{прав} = p_{лев}$
или
$p_{внешн. прав} + dh = p_{внешн. лев} + d_{0} \Delta h$,
где $p_{внешн. прав}$ -это давление окружающей сосуды среды;
$p_{внешн. лев}$ складывается из давления окружающей среды и $\frac{Q}{S_{1} }$, где $Q$ - сила взаимодействия поршня и жидкости.
Обозначая давление среды $p_{0}$, имеем
$p_{0} + dh = p_{0} + \frac{Q}{S_{1} } + d_{0} \Delta h$,
но
$dh = \frac{P_{2} }{S_{2} }$,
a $Q = P - F_{упр}$ (из условия равновесия поршня), поэтому
$\frac{P_{2}}{S_{2} } = \frac{P - kx}{S_{1} } + d_{0} \Delta h$. (1)
Видно, что для ответа на вопрос необходимо найти $x$. Найдем $x$ на основании следующих соображений.
Новая деформация пружины $x$ меньше той $x_{0}$, которая была до наливания второй жидкости на $\Delta h_{1}$, где $\Delta h_{1}$ - увеличение уровня жидкости в левом сосуде, т. е.
$x = x_{0} - \Delta h_{1}$ или $x = \frac{P}{k} - \Delta h_{1}$ (2)
(поскольку уровни жидкости были на одинаковой высоте, то сила взаимодействия поршня и жидкости была равна нулю, поэтому $x_{0} = \frac{P}{k}$). Так как
$\Delta h = \Delta h_{1} + \Delta h_{2}$, и $\Delta V_{1} = \Delta V_{2}$, (3)
где $\Delta h_{2}$ - опускание уровня первой жидкости в правом сосуде, а $\Delta V_{1}$ и $\Delta v_{2}$ - количество первой жидкости, перешедшей из правого сосуда в левый при наливании второй жидкости, и поскольку $\Delta V_{i} = S_{i} \Delta h_{i}$, то из (3) получим
$\Delta h_{1} = \frac{ \Delta h}{ \left ( 1 + \frac{S_{1} }{S_{2} } \right ) }$.
Подставляя найденное $\Delta h_{1}$ в (2), потом значение $x$ из (2) в (1), получим
$\frac{P_{2} }{S_{2} } = \frac{ P - k \left ( \frac{P}{k} - \frac{ \Delta h}{1 + \frac{S_{1} }{S_{2} } } \right ) }{S_{1} } + d_{0} \Delta h$,
откуда
$\Delta h = \frac{P_{2} }{S_{2} \left ( \frac{kS_{2} }{(S_{1} + S_{2} )S_{1} } + d_{0} \right ) }$.
Замечание. Уравнение (1) написано в том предположении, что пружина после доливания жидкости осталась растянутой, но в меньшей мере, чем была; если бы $P_{2}$ было достаточно велико, то пружина могла оказаться сжатой и вместо уравнения (1) имело бы место уравнение ($1^{ \prime}$)
$\frac{P_{2}}{S_{2} } = \frac{P + kx}{S_{1} } + d_{0} \Delta h$, ($1^{ \prime}$)
а вместо уравнения (2) - уравнение ($2^{ \prime}$)
$x = \Delta h_{1} - \frac{P}{k}$, ($2^{ \prime} $)
и результат решения не изменился бы.
