2016-09-19
Однородный тяжёлый рычаг длиной $L$, один из концов которого шарнирно закреплён, находится в горизонтальном положении, опираясь на верхний конец жёсткого штока Ш, по которому он может скользить (см. рисунок). Второй конец штока прикреплён к поршню, плотно вставленному в одно из колен вертикальной неподвижной $U$-образной трубки с площадью поперечного сечения $S$, в которую налита жидкость плотностью $\rho$. После того, как в открытое колено трубки долили объём $V$ той же самой жидкости, которая была в ней, рычаг после установления равновесия повернулся вокруг оси шарнира на угол $\alpha$ а шток при этом сохранил вертикальное положение. Пренебрегая массами поршня, штока и трением, найдите массу рычага $m$, если в исходном положении расстояние от верхнего конца штока до оси шарнира было равно $L/4$.
Решение:
При любом положении рычага действующий на него момент силы тяжести $mg$ уравновешивается моментом силы реакции штока $N$, которая, в силу отсутствия трения, всегда направлена перпендикулярно рычагу (см. рис.). Вертикальная проекция силы реакции равна силе давления, создаваемого столбом налитой в $U$-образную трубку жидкости. Правило рычага для исходного горизонтального положения имеет вид:
$mg \frac{L}{2} = \rho ghS \frac{L}{4}$,
где $h$ — расстояние от начального уровня жидкости в открытом колене трубки до уровня нижней поверхности поршня (на рисунке пунктиром показано положение поршня в исходном положении).
После доливания в трубку жидкости поршень вместе со штоком сместится вверх, а рычаг повернётся. При этом плечо силы тяжести уменьшится до $(L \cos \alpha)/2$, а плечо силы реакции штока увеличится до $L/(4 \cos \alpha)$, поскольку шток сохраняет вертикальное положение. При этом вертикальная составляющая силы реакции $N \cos \alpha$ станет равной $rho gh_{1}S$, где $h_{1}$ — расстояние от нового уровня жидкости в открытом колене трубки до нового уровня нижней поверхности поршня. Значит, правило рычага для этого случая имеет вид:
$mg \frac{L \cos \alpha}{2} = \frac{ \rho gh_{1}S}{ \cos \alpha} \cdot \frac{L}{4 \cos \alpha}$.
Так как шток жёсткий, то смещение поршня при повороте рычага равно расстоянию, на которое поднялся верхний конец штока: $\Delta x = (L/4) tg \alpha$. При этом на такое же расстояние опустился уровень жидкости в открытом колене трубки. Долитая же в трубку жидкость объёмом $V$ обеспечила дополнительный подъём разности уровней до высоты $h_{1}$, необходимой для установления равновесия. Следовательно (см. рис.),
$h_{1} = \frac{V}{S} + h - 2 \Delta x = \frac{V}{S} + h - 2 \cdot \frac{L}{4} tg \alpha$.
Решая полученные уравнения, находим ответ: $m = \frac{ \rho (LS tg \alpha - 2V)}{4(1 - \cos^{3} \alpha)}$.