Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 11144
2019-11-08 
Две звезды массами $m_{1}$ и $m_{2}$ находятся на постоянном расстоянии $l$ друг от друга. Каков характер их движения (рис.)?
Решение:
Так как между звездами действуют силы взаимного притяжения, то каждая из них должна двигаться ускоренно. Но так как по условию расстояние между ними постоянно, то ускорение должно быть нормальным к их скоростям и, значит, каждая из звезд должна двигаться по окружности, причем обе окружности должны иметь общий центр (называемый центром масс систем). Найдем его положение и периоды обращения звезд, считая систему замкнутой.
Очевидно, что имеем в проекции на $l$
$F_{1} = m_{1}a_{1}; F_{2} = m_{2}a_{2}$,
так как $F_{1} = F_{2}$ (по третьему закону), то $m_{1}a_{1} = m_{2}a_{2}$, или
$m_{1} \frac{4 \pi^{2}r_{1} }{T_{1}^{2} } = m_{2} \frac{4 \pi^{2}r_{2} }{T_{2}^{2} }$,
или
$\frac{m_{1}r_{1} }{T_{1}^{2} } = \frac{m_{2}r_{2} }{T_{2}^{2} }$.
Но чтобы звезды были все время на одинаковом расстоянии $l$, проходящем через центр масс, необходимо $T_{1} = T_{2}$ и тогда
$m_{1}r_{1} = m_{2}r_{2}$.
Так как $r_{1} + r_{2} = l$, то получим
$r_{1} = \frac{m_{2}l }{m_{1} + m_{2} }$;
$r_{2} = \frac{m_{1}l }{m_{1} + m_{2} }$.
Легко видеть, что у звезды с большей массой радиус вращения меньший. Пусть $m_{1} \gg m_{2}$. Тогда из последних равенств видно, что $r_{2} \gg r_{1}$ т. е. звезда с большей массой почти «топчется» на месте ($r_{1}$ очень мало), а звезда с малой массой движется по окружности $r_{2} \approx l$, т. е. практически звезда с малой массой вращается вокруг практически неподвижной звезды с большой массой.
Поскольку на эти звезды внешние силы не действуют, то, естественно, их общее количество движения не меняется, а это значит, что совместно с их взаимным вращением звезды могут двигаться так, что их центр масс имеет скорость $\vec{v} = \vec{const}$.
Зная $r_{1}$ и $r_{2}$, нетрудно найти $T_{1} = T_{2}$. Например, для первой звезды из $F_{1} = m_{1}a_{1}$ получаем
$\gamma \frac{m_{1}m_{2} }{l^{2} } = m_{1} \frac{4 \pi^{2}r_{1} }{T_{1}^{2} }$,
откуда
$T_{1} = 2 \pi \sqrt{ \frac{r_{1}l^{2} }{ \gamma m_{2} } }$,
или, учитывая, что
$r_{1} = \frac{m_{2}l }{m_{1} + m_{2} }$,
найдем
$T = 2 \pi \sqrt{ \frac{l^{3} }{ \gamma (m_{1} + m_{2} ) } }$,
т. е. период обращения зависит лишь от их взаимного расстояния и суммы масс и не зависит от соотношения масс.
Две звезды массами $m_{1}$ и $m_{2}$ находятся на постоянном расстоянии $l$ друг от друга. Каков характер их движения (рис.)?
Решение:
Так как между звездами действуют силы взаимного притяжения, то каждая из них должна двигаться ускоренно. Но так как по условию расстояние между ними постоянно, то ускорение должно быть нормальным к их скоростям и, значит, каждая из звезд должна двигаться по окружности, причем обе окружности должны иметь общий центр (называемый центром масс систем). Найдем его положение и периоды обращения звезд, считая систему замкнутой.
Очевидно, что имеем в проекции на $l$
$F_{1} = m_{1}a_{1}; F_{2} = m_{2}a_{2}$,
так как $F_{1} = F_{2}$ (по третьему закону), то $m_{1}a_{1} = m_{2}a_{2}$, или
$m_{1} \frac{4 \pi^{2}r_{1} }{T_{1}^{2} } = m_{2} \frac{4 \pi^{2}r_{2} }{T_{2}^{2} }$,
или
$\frac{m_{1}r_{1} }{T_{1}^{2} } = \frac{m_{2}r_{2} }{T_{2}^{2} }$.
Но чтобы звезды были все время на одинаковом расстоянии $l$, проходящем через центр масс, необходимо $T_{1} = T_{2}$ и тогда
$m_{1}r_{1} = m_{2}r_{2}$.
Так как $r_{1} + r_{2} = l$, то получим
$r_{1} = \frac{m_{2}l }{m_{1} + m_{2} }$;
$r_{2} = \frac{m_{1}l }{m_{1} + m_{2} }$.
Легко видеть, что у звезды с большей массой радиус вращения меньший. Пусть $m_{1} \gg m_{2}$. Тогда из последних равенств видно, что $r_{2} \gg r_{1}$ т. е. звезда с большей массой почти «топчется» на месте ($r_{1}$ очень мало), а звезда с малой массой движется по окружности $r_{2} \approx l$, т. е. практически звезда с малой массой вращается вокруг практически неподвижной звезды с большой массой.
Поскольку на эти звезды внешние силы не действуют, то, естественно, их общее количество движения не меняется, а это значит, что совместно с их взаимным вращением звезды могут двигаться так, что их центр масс имеет скорость $\vec{v} = \vec{const}$.
Зная $r_{1}$ и $r_{2}$, нетрудно найти $T_{1} = T_{2}$. Например, для первой звезды из $F_{1} = m_{1}a_{1}$ получаем
$\gamma \frac{m_{1}m_{2} }{l^{2} } = m_{1} \frac{4 \pi^{2}r_{1} }{T_{1}^{2} }$,
откуда
$T_{1} = 2 \pi \sqrt{ \frac{r_{1}l^{2} }{ \gamma m_{2} } }$,
или, учитывая, что
$r_{1} = \frac{m_{2}l }{m_{1} + m_{2} }$,
найдем
$T = 2 \pi \sqrt{ \frac{l^{3} }{ \gamma (m_{1} + m_{2} ) } }$,
т. е. период обращения зависит лишь от их взаимного расстояния и суммы масс и не зависит от соотношения масс.
