Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 1114
2016-09-19 
В $U$-образной трубке постоянного сечения находятся вода, ртуть и масло. Уровень ртути в левом и правом коленах одинаков, а высота столба воды равна $H$ (см. рисунок). В некоторый момент открывается кран в тонкой горизонтальной трубке, соединяющей колена на высоте $H/2$ над уровнем ртути. Как изменится уровень масла в правом колене? Плотности ртути, воды и масла равны $\rho_{р}, \rho_{в}$ и $\rho_{м}$, причём $\rho_{в} > \rho_{м}$. Считайте, что вода в правое колено не попадает, и что в обоих коленах всегда остаются вертикальные участки трубки, заполненные ртутью.
Решение:
До открывания крана гидростатическое давление по разные его стороны было различным. В левой части горизонтальнои трубки давление было равно $p_{1} = \frac{ \rho_{в} gH}{2}$, а в правой $p_{2} = \rho_{в} gH - \frac{ \rho_{м} gH}{2} = \frac{ \rho_{в} gH}{2} \left ( 2 - \frac{ \rho_{м}}{ \rho_{в}} \right )$. Так как $\rho_{в} > \rho_{м}$, то $p_{2} > p_{1}$. Это означает, что после открывания крана часть масла перетечёт по горизонтальной трубке из правого колена в левое и разместится в нём над слоем воды, образовав столбик некоторой высоты $x$. (Заметим, что, так как трубка тонкая, то можно считать, что после установления по разные стороны от крана одинаковых давлений в горизонтальной трубке будет находиться только масло.)
После перетекания масла уровень ртути в правом колене поднимется на некоторую величину $y$, а в левом колене он опустится на такую же величину. Уровень воды над левым концом горизонтальной трубки понизится на такую же величину $y$, как и уровень ртути в левом колене. В свою очередь, столбик масла в правом колене поднимется на величину $y$ из-за поднятия уровня ртути в правом колене и одновременно опустится на величину $x$ из-за перетекания части масла в левое колено. В конце концов, новое состояние равновесия будет таким, что по разные стороны от крана в горизонтальной трубке давления будут одинаковыми. Это означает, что
$\frac{ \rho_{в}gH}{2} + \rho_{м}gx - \rho_{в}gy = \rho_{в}gH - \frac{ \rho_{м} gH}{2} + \rho_{м} gy - \rho_{м} gx$.
Кроме того, ясно, что давление в нижней части $U$-образной трубки должно остаться таким же, каким оно было до открывания крана, так как сила давления на дно постоянна — она равна суммарному весу всех жидкостей, заполняющих трубку. Это, в частности, означает, что уменьшение давления в левом колене из-за вытекания из него ртути компенсируется давлением, которое создаётся перетёкшим в левое колено маслом: $\rho_{р} gy = \rho_{рт} gx$.
Решая полученную систему уравнений, получаем:
$x = \frac{ \rho_{р} ( \rho_{в} - \rho_{м}) H}{ 2 \rho_{м} (2 \rho_{р} - \rho_{в} - \rho_{м} )}$.
Отсюда искомое понижение уровня масла в правом колене:
$h = x - y = x \left ( 1 - \frac{ \rho_{м}}{ \rho_{р}} \right ) = \frac{ \rho_{р} - \rho_{м}}{ 2 \rho_{р} - ( \rho_{в} + \rho_{м})} \cdot \frac{ \rho_{в} - \rho_{м}}{ \rho_{м}} \cdot \frac{H}{2}$.
Заметим, что, поскольку, $\rho_{р} \gg \rho_{м}$ и $\rho_{р} \gg \rho_{в}$, то полученный ответ можно представить в приближённом виде: $h \approx (( \rho_{в} — \rho_{м})/ \rho_{м}) \cdot (H/4)$.
В $U$-образной трубке постоянного сечения находятся вода, ртуть и масло. Уровень ртути в левом и правом коленах одинаков, а высота столба воды равна $H$ (см. рисунок). В некоторый момент открывается кран в тонкой горизонтальной трубке, соединяющей колена на высоте $H/2$ над уровнем ртути. Как изменится уровень масла в правом колене? Плотности ртути, воды и масла равны $\rho_{р}, \rho_{в}$ и $\rho_{м}$, причём $\rho_{в} > \rho_{м}$. Считайте, что вода в правое колено не попадает, и что в обоих коленах всегда остаются вертикальные участки трубки, заполненные ртутью.
Решение:
До открывания крана гидростатическое давление по разные его стороны было различным. В левой части горизонтальнои трубки давление было равно $p_{1} = \frac{ \rho_{в} gH}{2}$, а в правой $p_{2} = \rho_{в} gH - \frac{ \rho_{м} gH}{2} = \frac{ \rho_{в} gH}{2} \left ( 2 - \frac{ \rho_{м}}{ \rho_{в}} \right )$. Так как $\rho_{в} > \rho_{м}$, то $p_{2} > p_{1}$. Это означает, что после открывания крана часть масла перетечёт по горизонтальной трубке из правого колена в левое и разместится в нём над слоем воды, образовав столбик некоторой высоты $x$. (Заметим, что, так как трубка тонкая, то можно считать, что после установления по разные стороны от крана одинаковых давлений в горизонтальной трубке будет находиться только масло.)
После перетекания масла уровень ртути в правом колене поднимется на некоторую величину $y$, а в левом колене он опустится на такую же величину. Уровень воды над левым концом горизонтальной трубки понизится на такую же величину $y$, как и уровень ртути в левом колене. В свою очередь, столбик масла в правом колене поднимется на величину $y$ из-за поднятия уровня ртути в правом колене и одновременно опустится на величину $x$ из-за перетекания части масла в левое колено. В конце концов, новое состояние равновесия будет таким, что по разные стороны от крана в горизонтальной трубке давления будут одинаковыми. Это означает, что
$\frac{ \rho_{в}gH}{2} + \rho_{м}gx - \rho_{в}gy = \rho_{в}gH - \frac{ \rho_{м} gH}{2} + \rho_{м} gy - \rho_{м} gx$.
Кроме того, ясно, что давление в нижней части $U$-образной трубки должно остаться таким же, каким оно было до открывания крана, так как сила давления на дно постоянна — она равна суммарному весу всех жидкостей, заполняющих трубку. Это, в частности, означает, что уменьшение давления в левом колене из-за вытекания из него ртути компенсируется давлением, которое создаётся перетёкшим в левое колено маслом: $\rho_{р} gy = \rho_{рт} gx$.
Решая полученную систему уравнений, получаем:
$x = \frac{ \rho_{р} ( \rho_{в} - \rho_{м}) H}{ 2 \rho_{м} (2 \rho_{р} - \rho_{в} - \rho_{м} )}$.
Отсюда искомое понижение уровня масла в правом колене:
$h = x - y = x \left ( 1 - \frac{ \rho_{м}}{ \rho_{р}} \right ) = \frac{ \rho_{р} - \rho_{м}}{ 2 \rho_{р} - ( \rho_{в} + \rho_{м})} \cdot \frac{ \rho_{в} - \rho_{м}}{ \rho_{м}} \cdot \frac{H}{2}$.
Заметим, что, поскольку, $\rho_{р} \gg \rho_{м}$ и $\rho_{р} \gg \rho_{в}$, то полученный ответ можно представить в приближённом виде: $h \approx (( \rho_{в} — \rho_{м})/ \rho_{м}) \cdot (H/4)$.
