Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 11135
2019-11-08 
Доказать, что внутри однородного шарового слоя $\vec{g} = 0$ (рис.).
Решение:
Выбрав внутри шарового слоя некоторую точку, проведем из нее два малых конуса, которые, пересекая слой, вырежут на нем поверхности $\Delta S_{1}$ и $\Delta S_{2}$.
Если конусы очень узки, то $\Delta m_{1}$ и $\Delta m_{2}$ можно рассматривать как материальные точки и, значит,
$\Delta \vec{g} = \gamma \frac{ \Delta m_{1} }{ r_{1}^{2} } \vec{r}_{01} + \gamma \frac{ \Delta m_{2} }{r_{2}^{2} } \vec{r}_{02}$,
но
$\Delta m = Dh \Delta S = Dh \frac{ \Delta S_{0} }{ \cos \alpha}$,
гдз $\Delta S_{0}$ построена перпендикулярно к оси конуса; $D$ - плотность; $h$ - толщина слоя.
Поэтому
$\Delta \vec{g} = \gamma \frac{Dh}{ \cos \alpha} \left ( \frac{ \Delta S_{01}}{r_{1}^{2} } \vec{r}_{01} + \frac{ \Delta S_{02} }{ r_{2}^{2} } \vec{r}_{02} \right )$.
Так как
$\frac{ \Delta S_{0} }{r^{2} } = \Delta w$
(по определению телесного угла), то
$\Delta \vec{g} = \gamma \frac{Dh}{ \cos \alpha} ( \Delta w_{1} \vec{r}_{01} + \Delta w_{2} \vec{r}_{02})$
и из-за $\Delta w_{1} = \Delta w_{2}$ (вертикальные углы равны) получаем
$\Delta \vec{g} = \gamma \frac{Dh \Delta w}{ \cos \alpha} ( \vec{r}_{01} + \vec{r}_{02} )$.
Поскольку $r_{01} = - \vec{r}_{02}$ (как противоположные орты), то $\vec{r}_{01} + \vec{r}_{02} = 0$, и поэтому $\Delta \vec{g} = 0$.
Поскольку такой же вклад в общее поле дают и остальные подобные пары элементов $\Delta m$, то внутри однородного шаровою слоя действительно $g = 0$ в любой точке.
Доказать, что внутри однородного шарового слоя $\vec{g} = 0$ (рис.).
Решение:
Выбрав внутри шарового слоя некоторую точку, проведем из нее два малых конуса, которые, пересекая слой, вырежут на нем поверхности $\Delta S_{1}$ и $\Delta S_{2}$.
Если конусы очень узки, то $\Delta m_{1}$ и $\Delta m_{2}$ можно рассматривать как материальные точки и, значит,
$\Delta \vec{g} = \gamma \frac{ \Delta m_{1} }{ r_{1}^{2} } \vec{r}_{01} + \gamma \frac{ \Delta m_{2} }{r_{2}^{2} } \vec{r}_{02}$,
но
$\Delta m = Dh \Delta S = Dh \frac{ \Delta S_{0} }{ \cos \alpha}$,
гдз $\Delta S_{0}$ построена перпендикулярно к оси конуса; $D$ - плотность; $h$ - толщина слоя.
Поэтому
$\Delta \vec{g} = \gamma \frac{Dh}{ \cos \alpha} \left ( \frac{ \Delta S_{01}}{r_{1}^{2} } \vec{r}_{01} + \frac{ \Delta S_{02} }{ r_{2}^{2} } \vec{r}_{02} \right )$.
Так как
$\frac{ \Delta S_{0} }{r^{2} } = \Delta w$
(по определению телесного угла), то
$\Delta \vec{g} = \gamma \frac{Dh}{ \cos \alpha} ( \Delta w_{1} \vec{r}_{01} + \Delta w_{2} \vec{r}_{02})$
и из-за $\Delta w_{1} = \Delta w_{2}$ (вертикальные углы равны) получаем
$\Delta \vec{g} = \gamma \frac{Dh \Delta w}{ \cos \alpha} ( \vec{r}_{01} + \vec{r}_{02} )$.
Поскольку $r_{01} = - \vec{r}_{02}$ (как противоположные орты), то $\vec{r}_{01} + \vec{r}_{02} = 0$, и поэтому $\Delta \vec{g} = 0$.
Поскольку такой же вклад в общее поле дают и остальные подобные пары элементов $\Delta m$, то внутри однородного шаровою слоя действительно $g = 0$ в любой точке.
