Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 11134
2019-11-08 
Чашка пружинных весов массой $M$ с лежащим на ней шариком массой $m$ оттянута вниз силой $F$ и отпущена. На какие высоты $H$ и $h$ поднимутся после отрыва от чашки шарик и чашка (рис.)? Каков при этом характер движения тел? Коэффициент жесткости пружины равен $k$.
Решение:
Движение шарика складывается из трех этапов: 1) ускоренного движения вместе с чашкой до положения равновесия, определяемого уравнением
$(M + m)g = kx$; (1)
2) замедленного движения вместе с чашкой с $|a| < g$ до момента отрыва, происходящего в том положении, где шарик и чашка уже не давят друг на друга, и, значит, они движутся с $a = g$ (очевидно, в этот момент пружина недеформи-рована); 3) оторвавшийся шарик движется вверх с ускорением $a = g$ (замедленно) под действием только силы тяжести (чашка же из-за возникшей деформации в пружине движется замедленно с $a_{2} > g$).
Очевидно для последнего этапа, который, собственно, нас интересует по условиям задачи, имеем
$\frac{mv^{2} }{2} = mgH$, (2)
где $H$ отсчитывается от положения отрыва (и, значит, от положения нижнего конца недеформированной пружины).
Из (2) получаем
$H = \frac{v^{2}}{2g}$. (3)
Для определения $v^{2}$ воспользуемся тем, что при движении системы от нижнего положения до момента отрыва энергия системы не менялась, т. е.
$\frac{kx_{0}^{2} }{2} - (M + m) gx_{0} = \frac{(M + m)v^{2} }{2}$. (4)
Необходимое $x_{0}$ находится из условия равновесия системы в нижнем положении
$(M + m)g + F = kx_{0}$. (5)
Решая совместно (3), (4), (5), получим
$H = \frac{F^{2} - (M + m)^{2}g^{2} }{2k(M + m)g }$. (6)
Для нахождения высоты поднятия чашки $h$ после отрыва шарика имеем
$\frac{Mv^{2} }{2} = Mgh + \frac{kh^{2} }{2}$,
а так как по (3)
$v^{2} = 2gH$,
то
$MgH = Mgh + \frac{kh^{2} }{2}$.
Подставляя сюда значение $H$ из (6), получим окончательна, с учетом того, что $h > 0$,
$h = - \frac{Mg}{k} + \sqrt{ \frac{M^{2}g^{2} }{k^{2} } + \frac{Mg (F^{2} - (M + m)^{2}g^{2} ) }{k^{2}(M + m)g } }$.
Чашка пружинных весов массой $M$ с лежащим на ней шариком массой $m$ оттянута вниз силой $F$ и отпущена. На какие высоты $H$ и $h$ поднимутся после отрыва от чашки шарик и чашка (рис.)? Каков при этом характер движения тел? Коэффициент жесткости пружины равен $k$.
Решение:
Движение шарика складывается из трех этапов: 1) ускоренного движения вместе с чашкой до положения равновесия, определяемого уравнением
$(M + m)g = kx$; (1)
2) замедленного движения вместе с чашкой с $|a| < g$ до момента отрыва, происходящего в том положении, где шарик и чашка уже не давят друг на друга, и, значит, они движутся с $a = g$ (очевидно, в этот момент пружина недеформи-рована); 3) оторвавшийся шарик движется вверх с ускорением $a = g$ (замедленно) под действием только силы тяжести (чашка же из-за возникшей деформации в пружине движется замедленно с $a_{2} > g$).
Очевидно для последнего этапа, который, собственно, нас интересует по условиям задачи, имеем
$\frac{mv^{2} }{2} = mgH$, (2)
где $H$ отсчитывается от положения отрыва (и, значит, от положения нижнего конца недеформированной пружины).
Из (2) получаем
$H = \frac{v^{2}}{2g}$. (3)
Для определения $v^{2}$ воспользуемся тем, что при движении системы от нижнего положения до момента отрыва энергия системы не менялась, т. е.
$\frac{kx_{0}^{2} }{2} - (M + m) gx_{0} = \frac{(M + m)v^{2} }{2}$. (4)
Необходимое $x_{0}$ находится из условия равновесия системы в нижнем положении
$(M + m)g + F = kx_{0}$. (5)
Решая совместно (3), (4), (5), получим
$H = \frac{F^{2} - (M + m)^{2}g^{2} }{2k(M + m)g }$. (6)
Для нахождения высоты поднятия чашки $h$ после отрыва шарика имеем
$\frac{Mv^{2} }{2} = Mgh + \frac{kh^{2} }{2}$,
а так как по (3)
$v^{2} = 2gH$,
то
$MgH = Mgh + \frac{kh^{2} }{2}$.
Подставляя сюда значение $H$ из (6), получим окончательна, с учетом того, что $h > 0$,
$h = - \frac{Mg}{k} + \sqrt{ \frac{M^{2}g^{2} }{k^{2} } + \frac{Mg (F^{2} - (M + m)^{2}g^{2} ) }{k^{2}(M + m)g } }$.
