Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 11123
2019-11-08 
В тележку весом $P$, имеющую форму параллелепипеда с площадью дна $S$ и с отверстием в дне площадью $S_{1}$, движущуюся по горизонтальной Поверхности с коэффициентом трения $k$, льет дождь плотности $\rho$ под углом $\alpha$ к вертикали. Найти условие, при котором скорость тележки постоянна, и найти эту скорость, если скорость капель дождя равна $v$ (рис.), а масса воды в тележке $M_{в}$.
Решение:
Так как ускорение тележки равно нулю, то
$\vec{P} + M_{в} \vec{g} + \vec{F}_{тр} + \vec{Q} + \vec{F}_{в} + \mu \vec{c} = 0$, (1)
где $\vec{P}$ - вес тележки; $M_{в} \vec{g}$ - вес находящейся в тележке воды; $\vec{Q}$ - сила реакции опоры; $\vec{F}_{тр}$ - сила трения; $\mu \vec{c}$ - сила со стороны дождя; $\mu$ - масса воды, попадающей в тележку в единицу времени; $\vec{F}_{в} = \rho_{в} \vec{v}_{в}$ - сила реакции вытекающей из тележки воды, где $v_{в}$ - скорость воды относительно тележки (причем, очевидно, что $v_{в} = \sqrt{2gh}$), а $\mu_{в}$ - быстрота вытекания воды.
Поскольку
$\mu_{в} = \rho S_{1}v_{в}; h = \frac{M_{в} }{S \rho}$
то
$F_{в} = \mu_{в} v_{в} = \rho S_{1} v_{в}^{2} = 2M_{в}g \frac{S_{1} }{S}$. (2)
Скорость капель дождя относительно тележки
$\vec{c} = \vec{v} - \vec{u}$
или в проекциях:
$c_{x} = v \cdot \sin \alpha - u; c_{y} = v \cos \alpha$, (*)
где $\vec{u}$ - скорость тележки относительно земли.
Берем проекции уравнения (1) па вертикаль и горизонталь
$- P - M_{в}g + Q + F_{в} - \mu c_{y} = 0$; (3)
$- kQ + \mu c_{x} = 0$. (4)
Исключая $Q$ из (3) и (4), получим с учетом (2) и (*) после преобразований:
$M_{в}g \left ( 1 - 2 \frac{S_{1} }{S} \right ) - \mu \left ( \frac{v \sin \alpha - u }{k} - v \cos \alpha \right ) + P = 0$. (5)
Поскольку $S_{1}, S, v, \alpha, u, k, P$ и $\mu = \rho Sc$ - величины постоянные, то $M_{в} = const$, что приводит к $\mu = \mu_{в}$.
Но из $\mu = \mu_{в}$ следует, что
$\rho Sc_{y} = \rho S_{1} \sqrt{ 2g \frac{M_{в} }{ \rho S} }$,
откуда
$M_{в} = \frac{ \rho c_{y}^{2}S }{2g} \left ( \frac{S}{S_{1} } \right )^{2}$. (6)
Необходимое $c_{y}^{2}$ подставляем из (*).
При выполнении условия (6) скорость тележки может оказаться постоянной. Величину этой скорости находим из уравнения (5)
$u = v ( \sin \alpha - k \cos \alpha) - \frac{k}{ \mu} \left ( M_{в}g \left ( 1 - 2 \frac{S_{1} }{S} \right ) + P \right )$.
Если условие (6) не выполнено, то скорость тележки не может быть постоянной. Таким образом, масса воды в тележке не должна быть иной, чем указано в (6).
В тележку весом $P$, имеющую форму параллелепипеда с площадью дна $S$ и с отверстием в дне площадью $S_{1}$, движущуюся по горизонтальной Поверхности с коэффициентом трения $k$, льет дождь плотности $\rho$ под углом $\alpha$ к вертикали. Найти условие, при котором скорость тележки постоянна, и найти эту скорость, если скорость капель дождя равна $v$ (рис.), а масса воды в тележке $M_{в}$.
Решение:
Так как ускорение тележки равно нулю, то
$\vec{P} + M_{в} \vec{g} + \vec{F}_{тр} + \vec{Q} + \vec{F}_{в} + \mu \vec{c} = 0$, (1)
где $\vec{P}$ - вес тележки; $M_{в} \vec{g}$ - вес находящейся в тележке воды; $\vec{Q}$ - сила реакции опоры; $\vec{F}_{тр}$ - сила трения; $\mu \vec{c}$ - сила со стороны дождя; $\mu$ - масса воды, попадающей в тележку в единицу времени; $\vec{F}_{в} = \rho_{в} \vec{v}_{в}$ - сила реакции вытекающей из тележки воды, где $v_{в}$ - скорость воды относительно тележки (причем, очевидно, что $v_{в} = \sqrt{2gh}$), а $\mu_{в}$ - быстрота вытекания воды.
Поскольку
$\mu_{в} = \rho S_{1}v_{в}; h = \frac{M_{в} }{S \rho}$
то
$F_{в} = \mu_{в} v_{в} = \rho S_{1} v_{в}^{2} = 2M_{в}g \frac{S_{1} }{S}$. (2)
Скорость капель дождя относительно тележки
$\vec{c} = \vec{v} - \vec{u}$
или в проекциях:
$c_{x} = v \cdot \sin \alpha - u; c_{y} = v \cos \alpha$, (*)
где $\vec{u}$ - скорость тележки относительно земли.
Берем проекции уравнения (1) па вертикаль и горизонталь
$- P - M_{в}g + Q + F_{в} - \mu c_{y} = 0$; (3)
$- kQ + \mu c_{x} = 0$. (4)
Исключая $Q$ из (3) и (4), получим с учетом (2) и (*) после преобразований:
$M_{в}g \left ( 1 - 2 \frac{S_{1} }{S} \right ) - \mu \left ( \frac{v \sin \alpha - u }{k} - v \cos \alpha \right ) + P = 0$. (5)
Поскольку $S_{1}, S, v, \alpha, u, k, P$ и $\mu = \rho Sc$ - величины постоянные, то $M_{в} = const$, что приводит к $\mu = \mu_{в}$.
Но из $\mu = \mu_{в}$ следует, что
$\rho Sc_{y} = \rho S_{1} \sqrt{ 2g \frac{M_{в} }{ \rho S} }$,
откуда
$M_{в} = \frac{ \rho c_{y}^{2}S }{2g} \left ( \frac{S}{S_{1} } \right )^{2}$. (6)
Необходимое $c_{y}^{2}$ подставляем из (*).
При выполнении условия (6) скорость тележки может оказаться постоянной. Величину этой скорости находим из уравнения (5)
$u = v ( \sin \alpha - k \cos \alpha) - \frac{k}{ \mu} \left ( M_{в}g \left ( 1 - 2 \frac{S_{1} }{S} \right ) + P \right )$.
Если условие (6) не выполнено, то скорость тележки не может быть постоянной. Таким образом, масса воды в тележке не должна быть иной, чем указано в (6).
