ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2019-11-08   
Из орудия, установленного на платформе массой $M$, производится выстрел снарядом массой $m$, который получает скорость $v$ под углом $\alpha$ к горизонту. Платформа в результате отдачи приходит в движение. Сколько времени платформа находилась в движении, если коэффициент трения о рельсы равен $k$ и $M \gg m$?


Решение:


Очевидно, что $\Delta t$ складывается из $\Delta t_{1}$ и $\Delta t_{2}$, где $\Delta t_{1}$ - время ускоренного движения платформы в момент выстрела, $\Delta t_{2}$ - время замедленного движения платформы после выстрела. На чертеже $\vec{F}_{п.с}$ и $\vec{F}_{с,п}$ - силы взаимодействия снаряда и платформы.

Для первого этапа движения платформы (рис. А)

$( M \vec{g} + \vec{F}_{п,с} + \vec{Q}_{1} + \vec{F}_{тр1}) \Delta t = M \vec{u} - M \vec{u}_{0}$ (*)

или с учетом того, что $u_{0} = 0$, получим в проекциях на оси

$\begin{cases} (F_{п,с} \cos \alpha - kQ_{1} ) \Delta t_{1} = Mu; \\ - Mg - F_{п,с} \sin \alpha + Q_{1} = 0 \end{cases}$

Исключая $Q_{1}$, получим

$(F_{п,с} \cos \alpha - kMg - kF_{п,с} \sin \alpha) \Delta t_{1} = Mu$. (1)

Для снаряда с учетом $mg \ll F_{с,п}$ получим:

$\vec{F}_{с,п} \Delta t_{1} = m \vec{v} - m \vec{v}_{0}$

или с учетом $v_{0} = 0$

$\begin{cases} F_{с,п} \cos \alpha \Delta t_{1} = mv \cos \alpha; & (2) \\ F_{с,п} \sin \alpha \Delta t_{1} = mv \sin \alpha, & (3) \end{cases}$

Учитывая, что $F_{п,с} = F_{с,п} = F$, получим, подставляя (2) и (3) в (1),

$mv \cos \alpha - kMg \Delta t_{1} - kmv \sin \alpha = Mu$,

откуда

$\Delta t_{1} = \frac{mv ( \cos \alpha - k \sin \alpha)}{kMg} - \frac{u}{kg}$.

Для второго этапа движения платформы (рис. Б) найдем

$(M \vec{g} + \vec{Q}_{2} + \vec{F}_{тр2}) \Delta t_{2} = M \vec{u}^{ \prime} - M \vec{u}$, (**)

где $u^{ \prime} = 0$ (конечная скорость платформы).


В проекциях на оси будем иметь

$\begin{cases} - kQ_{2} \cdot \Delta t_{2} = - Mu; \\ Mg + Q_{2} = 0, \end{cases}$

откуда после исключения $Q_{2}$ получим

$\Delta t_{2} = \frac{u}{kg}$.

Тогда

$\Delta t = \Delta t_{2} + \Delta t_{1} = \frac{u}{kg} + \frac{mv( \cos \alpha - k \sin \alpha)}{kMg} - \frac{u}{kg}$.

Окончательно найдем

$\Delta t = \frac{mv( \cos \alpha - k \sin \alpha) }{ kMg}$.

Замечания. Угол наклона орудия $\alpha$ не равен углу, под которым вылетает снаряд. Действительно, $\vec{v}_{c} = \vec{v}_{с,п} + \vec{u}$ (см. рис. А).

Здесь $\vec{u}$ - скорость платформы относительно земли, $\vec{v}_{с,п}$ - скорость снаряда относительно платформы (она и составляет угол $\alpha$ с горизонтом), $\vec{v}_{с}$ - скорость снаряда относительно земли. Она составляет угол $\alpha + \Delta \alpha$ с горизонтом. Ясно, что $\Delta \alpha$ при $\frac{m}{M} \rightarrow 0$, что и имеет место в нашем случае.

Задачу можно было бы начинать решать со сложения уравнений (*) и (**) с последующим проектированием векторов на оси.