Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 1112
2016-09-19 
Система из двух сообщающихся вертикальных цилиндров, заполненных жидкостью плотностью $\rho$, закрыта поршнями массами $M_{1}$ и $M_{2}$. В положении равновесия поршни находятся на одной высоте. Если на поршень массой $M_{1}$ положить груз массой $m$, то поршень массой $M_{2}$ поднимется после установления равновесия на высоту $h$ относительно начального положения. На какую высоту относительно начального положения равновесия поднимется поршень массой $M_{1}$, если груз массой $m$ положить на поршень массой $M_{2}$? Трения нет.
Решение:
Пусть после того, как на поршень массой $M_{1}$ положили груз массой $m$, этот поршень опустился на расстояние $\Delta h_{2}$, а второй поршень поднялся на высоту $\Delta h_{2}$ относительно начального положения. При этом перепад уровней жидкости в сосудах будет равен $\Delta h_{1} + \Delta h_{2}$, а разность давлений, создаваемая этим перепадом уровней, будет компенсироваться добавочным давлением, которое создаёт груз массой $m$, лежащий на первом поршне. Отсюда получаем уравнение: $\rho g( \Delta h_{1} + \Delta h_{2}) = mg/S_{1}$. Здесь $S_{1}$ — площадь поршня массой $M_{1}$. Далее, так как объём жидкости под поршнями не изменился, то справедливо соотношение: $S_{1} \Delta h_{1} = S{2} \Delta h_{2}$, где $S_{2}$ — площадь поршня массой Выражая из второго уравнения величину $\Delta h_{1}$ и подставляя её в первое уравнение, найдём высоту, на которую поднимется поршень массой $M_{2}$:
$\Delta h_{2} = \frac{m}{ \rho (S_{1}+S_{2})}$.
По условию задачи эта величина равна $h$.
Пусть теперь груз массой $m$ положили на поршень массой $M_{2}$. Проводя аналогичные рассуждения, можно честно найти высоту $\Delta h_{1}^{ \prime}$, на которую при этом поднимется поршень массой $M_{1}$. Однако, зная выражение для $\Delta h_{2}$, ответ можно просто угадать. Действительно, в рассматриваемой системе всё равно, какой поршень считать «первым», а какой — «вторым». Значит, для того, чтобы получить ответ, можно просто перенумеровать все величины в последней формуле, то есть заменить все индексы «1» на индексы «2», и наоборот. В итоге получим
$\Delta h_{1}^{ \prime} = \frac{m}{ \rho (S_{2} - S_{1})} = \Delta h_{2} = h$.
Итак, если положить груз массой $m$ на поршень массой $M_{2}$, то поршень массой $M_{1}$ поднимется относительно начального положения на такую же высоту $h$, на какую поднимался поршень массой $M_{2}$, когда груз массой $m$ клали на поршень массой $M_{1}$.
Система из двух сообщающихся вертикальных цилиндров, заполненных жидкостью плотностью $\rho$, закрыта поршнями массами $M_{1}$ и $M_{2}$. В положении равновесия поршни находятся на одной высоте. Если на поршень массой $M_{1}$ положить груз массой $m$, то поршень массой $M_{2}$ поднимется после установления равновесия на высоту $h$ относительно начального положения. На какую высоту относительно начального положения равновесия поднимется поршень массой $M_{1}$, если груз массой $m$ положить на поршень массой $M_{2}$? Трения нет.
Решение:
Пусть после того, как на поршень массой $M_{1}$ положили груз массой $m$, этот поршень опустился на расстояние $\Delta h_{2}$, а второй поршень поднялся на высоту $\Delta h_{2}$ относительно начального положения. При этом перепад уровней жидкости в сосудах будет равен $\Delta h_{1} + \Delta h_{2}$, а разность давлений, создаваемая этим перепадом уровней, будет компенсироваться добавочным давлением, которое создаёт груз массой $m$, лежащий на первом поршне. Отсюда получаем уравнение: $\rho g( \Delta h_{1} + \Delta h_{2}) = mg/S_{1}$. Здесь $S_{1}$ — площадь поршня массой $M_{1}$. Далее, так как объём жидкости под поршнями не изменился, то справедливо соотношение: $S_{1} \Delta h_{1} = S{2} \Delta h_{2}$, где $S_{2}$ — площадь поршня массой Выражая из второго уравнения величину $\Delta h_{1}$ и подставляя её в первое уравнение, найдём высоту, на которую поднимется поршень массой $M_{2}$:
$\Delta h_{2} = \frac{m}{ \rho (S_{1}+S_{2})}$.
По условию задачи эта величина равна $h$.
Пусть теперь груз массой $m$ положили на поршень массой $M_{2}$. Проводя аналогичные рассуждения, можно честно найти высоту $\Delta h_{1}^{ \prime}$, на которую при этом поднимется поршень массой $M_{1}$. Однако, зная выражение для $\Delta h_{2}$, ответ можно просто угадать. Действительно, в рассматриваемой системе всё равно, какой поршень считать «первым», а какой — «вторым». Значит, для того, чтобы получить ответ, можно просто перенумеровать все величины в последней формуле, то есть заменить все индексы «1» на индексы «2», и наоборот. В итоге получим
$\Delta h_{1}^{ \prime} = \frac{m}{ \rho (S_{2} - S_{1})} = \Delta h_{2} = h$.
Итак, если положить груз массой $m$ на поршень массой $M_{2}$, то поршень массой $M_{1}$ поднимется относительно начального положения на такую же высоту $h$, на какую поднимался поршень массой $M_{2}$, когда груз массой $m$ клали на поршень массой $M_{1}$.
