ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2019-11-08   
По шероховатой (при наличии трения) горизонтальной поверхности под действием горизонтальной силы $F$ движется однородный постоянного сечения брусок длиной $l$. Найти натяжение в бруске как функцию расстояния от его заднего края (рис.).



Решение:


Разобьем мысленно брусок сечением АВ на две части. Так как брусок движется как одно целое, то $\vec{a}_{1} = \vec{a}_{2} = \vec{a}$ и тогда для двух частей бруска

$\vec{a} = \frac{m_{1} \vec{g} + \vec{F}_{тр1} + \vec{T}_{1,2} + \vec{Q}_{1} + \vec{F} }{m_{1} }$;
$\vec{a} = \frac{m_{2} \vec{g} + \vec{F}_{тр2} + \vec{T}_{1,2} + \vec{T}_{2,1} + \vec{Q}_{2} }{m_{2} }$;

Проектируя все векторы на $\vec{t}$ - и $\vec{n}$ - направлепия, получим, учитывая, что $F_{тр} = kQ$ и $T_{1,2} = T_{2,1} = T$:

$a = \frac{ - kQ_{1} - T + F}{m_{1} }$; (1)
$0 = - m_{1}g + Q_{1}$; (2)
$a = \frac{-kQ_{2} + T}{m_{2} }$; (3)
$0 = - m_{2}g + Q_{2}$. (4)

Исключая из (1) и (2) $Q_{1}$ а из (3) и (4) $Q_{2}$, имеем

$a = \frac{ - km_{1}g - T +F }{m_{1} }$;
$a = \frac{ - km_{2}g + T }{m_{2} }$.

Исключая $a$, получим откуда

$kg - \frac{T }{m_{1} } + \frac{F}{m_{1} } = - kg + \frac{T}{m_{2} }$,

откуда

$T = \frac{F}{1 + \frac{m_{1} }{m_{2} } }$.

Но

$\frac{m_{1} }{m_{2} } = \frac{ \rho V_{1} }{ \rho V_{2} } = \frac{ \rho s (l - x) }{ \rho sx} = \frac{l}{x} - 1$.

Подставляя это значение в выражение для $T$, получаем окончательно

$T = \frac{F}{l} x$.