Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 11108
2019-10-29 
Скорость звука в воздухе $\approx 330 м/с$. Имеется свисток, который издает непрерывный тон с частотой 3300 Гц. На большом расстоянии от свистка находится диск диаметром 2 м из идеального звукопоглощающего материала. Он расположен перпендикулярно линии, соединяющей свисток и центр диска.
Если вы находитесь непосредственно за диском, то никакого звука от свистка не услышите. Если вы отойдете от диска на большое расстояние и он по-прежнему будет скрывать свисток от вас, то вы, вероятно, сочтете, что опять не услышите звука. Однако это не так - вы его услышите, причем столь же явственно, как и без диска.
а) Почему это происходит? (Замечание. Пренебрегите влиянием земной поверхности, строений, деревьев и т. п. Считайте, что свисток расположен в однородном воздушном пространстве, а вы и диск «подвешены» в этом пространстве, например, с помощью воздушных шаров или чего-либо еще.)
б) Получите формулу (по возможности наиболее простым путем), чтобы дать ответ на такой вопрос: на каком расстоянии (в метрах) вы должны находиться позади диска, чтобы при его введении интенсивность звука упала примерно вдвое? Определите это расстояние не более чем с двукратной ошибкой.
Решение:
По существу это задача о дифракции Френеля на круглом экране. Длина звуковой волны от свистка $\lambda = \frac{v}{f} = 0,1 м$. Поскольку источник удален от диска на большое расстояние, звуковая волна в любой точке на поверхности диска имеет одну и ту же фазу. Для точки, расположенной на оси диска, радиус $l$-й зоны Френеля определяется выражением
$R_{l}^{2} + D^{2} = \left (D + l \frac{ \lambda }{2} \right )^{2}$.
Отсюда получаем
$R_{l} = \sqrt{ lD \lambda + \frac{l^{2} \lambda^{2} }{4} }$;
здесь $D$ - расстояние между наблюдателем и диском. Площадь проекции $l$-й зоны записывается в виде
$( \pi R_{l}^{2} - \pi R_{l-1}^{2}) \cos \theta \approx \pi \left ( \lambda D + \frac{l \lambda^{2} }{2} \right ) \cos \theta$,
где
$\cos \theta = \frac{D}{ \sqrt{D^{2} + R_{l}^{2} } }$.
Результирующая амплитуда звуковой волны вдоль оси диска равна
$A = \sum (-1)^{l}A_{l}$,
где
$A_{l} = \frac{ \pi \left [ \lambda D + \frac{ l \lambda^{2} }{2} \right ] \cos \theta }{ \sqrt{R_{l}^{2} + D^{2} } } \cos \theta = \frac{ \pi \left [ \lambda D + \frac{l \lambda^{2} }{2} \right ] D^{2} }{(R_{l}^{2} + D^{2} )^{3/2} }$. (1)
Компоненты амплитуды, перпендикулярные оси, отсутствуют в силу осевой симметрии.
а) Если наблюдатель находится непосредственно за диском, то $D = 0$. Следовательно, $A_{l} = 0$ для любого $l \neq 0$. Поскольку первой зоне Френеля, примыкающей к периферии диска, соответствует $l = r/( \lambda /2)$ (где $r = 1 м$ - радиус диска), то результирующая амплитуда звуковой волны равна нулю и свиста не слышно.
б) Если теперь отойти далеко за диск, то $D \gg \lambda$. Первой зоне Френеля, примыкающей с внешней стороны к диску, соответствует $l_{1} = r^{2}/ \lambda D$, и для результирующей амплитуды получаем
$A = \sum_{l = l_{1} }^{ \infty} (-1)^{l} A_{l} = \sum_{l = l_{1}, l_{1} + 2, \cdots }^{ \infty} (-1)^{l}(A_{l} - A_{l + 1} ) \approx \frac{1}{2} (-1)^{l_{1} } \sum_{l = l_{1} }^{ \infty} \frac{dA_{l} }{dl} \approx \frac{1}{2} (-1)^{l_{1} } \int_{l_{1} }^{ \infty} \frac{dA_{l} }{dl} dl = \frac{1}{2} (-1)^{l_{1} + 1 } (A_{l_{1} } - A_{ \infty} )$.
Поскольку $A_{ \infty} = 0$, то
$A = \frac{1}{2} (-1)^{l_{1} + 1} A_{l_{1} }$. (2)
В отсутствие диска результирующая амплитуда
$B = \sum_{l = 0}^{ \infty} ( - 1)^{l} A_{l} \approx \frac{A_{0} }{2}$. (3)
Условие ослабления интенсивности звука в два раза при введении диска записывается в виде
$A^{2} = \frac{1}{2}B^{2}$,
или
$A_{l_{1}}^{2} = \frac{1}{2} A_{0}^{2}$.
Подставляя $A_{l_{1} }$ из формулы (1), получаем
$\left \{ \frac{ \pi ( \lambda D + l_{1} \lambda^{2}/2 ) D^{2} }{(R_{l_{1} }^{2} + D^{2} )^{3/2} } \right \}^{2} = \frac{1}{2} \left ( \frac{ \pi \lambda D^{3} }{D^{3} } \right )^{2}$.
Поскольку $R_{l_{1} } = 1 м$, a $l_{1} \lambda = 1/D$, последнее равенство принимает вид
$\left \{ \frac{D^{3} + D/2 }{(1+D)^{3/2} } \right \}^{2} = \frac{1}{2}$.
Отсюда получаем уравнение
$D^{6} - D^{4} - 2,5 D^{2} - 1 = 0$,
из которого находим $D \approx 1,5 м$.
Скорость звука в воздухе $\approx 330 м/с$. Имеется свисток, который издает непрерывный тон с частотой 3300 Гц. На большом расстоянии от свистка находится диск диаметром 2 м из идеального звукопоглощающего материала. Он расположен перпендикулярно линии, соединяющей свисток и центр диска.
Если вы находитесь непосредственно за диском, то никакого звука от свистка не услышите. Если вы отойдете от диска на большое расстояние и он по-прежнему будет скрывать свисток от вас, то вы, вероятно, сочтете, что опять не услышите звука. Однако это не так - вы его услышите, причем столь же явственно, как и без диска.
а) Почему это происходит? (Замечание. Пренебрегите влиянием земной поверхности, строений, деревьев и т. п. Считайте, что свисток расположен в однородном воздушном пространстве, а вы и диск «подвешены» в этом пространстве, например, с помощью воздушных шаров или чего-либо еще.)
б) Получите формулу (по возможности наиболее простым путем), чтобы дать ответ на такой вопрос: на каком расстоянии (в метрах) вы должны находиться позади диска, чтобы при его введении интенсивность звука упала примерно вдвое? Определите это расстояние не более чем с двукратной ошибкой.
Решение:
По существу это задача о дифракции Френеля на круглом экране. Длина звуковой волны от свистка $\lambda = \frac{v}{f} = 0,1 м$. Поскольку источник удален от диска на большое расстояние, звуковая волна в любой точке на поверхности диска имеет одну и ту же фазу. Для точки, расположенной на оси диска, радиус $l$-й зоны Френеля определяется выражением
$R_{l}^{2} + D^{2} = \left (D + l \frac{ \lambda }{2} \right )^{2}$.
Отсюда получаем
$R_{l} = \sqrt{ lD \lambda + \frac{l^{2} \lambda^{2} }{4} }$;
здесь $D$ - расстояние между наблюдателем и диском. Площадь проекции $l$-й зоны записывается в виде
$( \pi R_{l}^{2} - \pi R_{l-1}^{2}) \cos \theta \approx \pi \left ( \lambda D + \frac{l \lambda^{2} }{2} \right ) \cos \theta$,
где
$\cos \theta = \frac{D}{ \sqrt{D^{2} + R_{l}^{2} } }$.
Результирующая амплитуда звуковой волны вдоль оси диска равна
$A = \sum (-1)^{l}A_{l}$,
где
$A_{l} = \frac{ \pi \left [ \lambda D + \frac{ l \lambda^{2} }{2} \right ] \cos \theta }{ \sqrt{R_{l}^{2} + D^{2} } } \cos \theta = \frac{ \pi \left [ \lambda D + \frac{l \lambda^{2} }{2} \right ] D^{2} }{(R_{l}^{2} + D^{2} )^{3/2} }$. (1)
Компоненты амплитуды, перпендикулярные оси, отсутствуют в силу осевой симметрии.
а) Если наблюдатель находится непосредственно за диском, то $D = 0$. Следовательно, $A_{l} = 0$ для любого $l \neq 0$. Поскольку первой зоне Френеля, примыкающей к периферии диска, соответствует $l = r/( \lambda /2)$ (где $r = 1 м$ - радиус диска), то результирующая амплитуда звуковой волны равна нулю и свиста не слышно.
б) Если теперь отойти далеко за диск, то $D \gg \lambda$. Первой зоне Френеля, примыкающей с внешней стороны к диску, соответствует $l_{1} = r^{2}/ \lambda D$, и для результирующей амплитуды получаем
$A = \sum_{l = l_{1} }^{ \infty} (-1)^{l} A_{l} = \sum_{l = l_{1}, l_{1} + 2, \cdots }^{ \infty} (-1)^{l}(A_{l} - A_{l + 1} ) \approx \frac{1}{2} (-1)^{l_{1} } \sum_{l = l_{1} }^{ \infty} \frac{dA_{l} }{dl} \approx \frac{1}{2} (-1)^{l_{1} } \int_{l_{1} }^{ \infty} \frac{dA_{l} }{dl} dl = \frac{1}{2} (-1)^{l_{1} + 1 } (A_{l_{1} } - A_{ \infty} )$.
Поскольку $A_{ \infty} = 0$, то
$A = \frac{1}{2} (-1)^{l_{1} + 1} A_{l_{1} }$. (2)
В отсутствие диска результирующая амплитуда
$B = \sum_{l = 0}^{ \infty} ( - 1)^{l} A_{l} \approx \frac{A_{0} }{2}$. (3)
Условие ослабления интенсивности звука в два раза при введении диска записывается в виде
$A^{2} = \frac{1}{2}B^{2}$,
или
$A_{l_{1}}^{2} = \frac{1}{2} A_{0}^{2}$.
Подставляя $A_{l_{1} }$ из формулы (1), получаем
$\left \{ \frac{ \pi ( \lambda D + l_{1} \lambda^{2}/2 ) D^{2} }{(R_{l_{1} }^{2} + D^{2} )^{3/2} } \right \}^{2} = \frac{1}{2} \left ( \frac{ \pi \lambda D^{3} }{D^{3} } \right )^{2}$.
Поскольку $R_{l_{1} } = 1 м$, a $l_{1} \lambda = 1/D$, последнее равенство принимает вид
$\left \{ \frac{D^{3} + D/2 }{(1+D)^{3/2} } \right \}^{2} = \frac{1}{2}$.
Отсюда получаем уравнение
$D^{6} - D^{4} - 2,5 D^{2} - 1 = 0$,
из которого находим $D \approx 1,5 м$.
