Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 11106
2019-10-29 
Разрешающая способность интерферометра Фабри - Перо определяется по формуле
$\frac{ \lambda}{ \Delta \lambda} = \frac{m \pi r}{1 - r^{2} }$,
где $m$ - порядок интерференции, $r^{2}$ - коэффициент отражения зеркал ($r^{2}$ чуть меньше единицы). Любой газовый лазер имеет на своих концах зеркала и излучает спектр линий, соответствующих различным порядкам интерференции волн между этими зеркалами. Предположим, что длина лазера равна 30 см и он излучает свет со средней длиной волны $6000 \overset{ \circ}{А}$.
а) Определите разность длин волн $\Delta \lambda$ между двумя соседними линиями излучения вблизи длины волны $6000 \overset{ \circ}{А}$.
б) Какой минимальный коэффициент отражения должны иметь зеркала в интерферометре Фабри-Перо, расположенные на расстоянии 1,5 см друг от друга, чтобы с его помощью можно было разрешить две линии с разностью длин волн $\Delta \lambda$, найденной в п. «а»?
Решение:
а) Найдем разность фаз между двумя волнами излучения $\lambda$ и $\lambda^{ \prime}$ при прохождении ими расстояния $d$:
$\delta = 2 \pi \left ( \frac{d}{ \lambda} - \frac{d}{ \lambda^{ \prime} } \right ) \approx \frac{2 \pi d}{ \lambda^{2} } \Delta \lambda$;
здесь $\Delta \lambda$ - разность длин волн. Подставляя в эту формулу $d = 2 \cdot 30 = 60 см, \lambda = 6000 \overset{ \circ}{А}$ и $\delta = 2 \pi$, находим
$\Delta \lambda = \frac{ \lambda^{2} }{d} \approx 6 \cdot 10^{-3} \overset{ \circ}{А}$.
б) Разрешающая способность должна быть равна
$\frac{ \lambda}{ \Delta \lambda} = 10^{6}$.
Порядок интерференции
$m = \frac{2d}{ \lambda} = \frac{2 \cdot 1,5 \cdot 10^{8}}{6000} = 50 000$.
Из формулы, приведенной в задаче, находим, что коэффициент отражения должен удовлетворять условию
$r^{2} + \frac{ \pi r}{20} - 1 \geq 0$
или
$\left ( r - 1 + \frac{ \pi}{40} \right ) \left (r + 1 + \frac{ \pi}{40} \right ) \geq \frac{ \pi^{2} }{40^{2} } \approx 0$.
Отсюда для разрешения двух линий с $\Delta \lambda = 6 \cdot 10^{-3} \overset{ \circ}{А}$ следует выбрать
$r \approx 1 - \frac{ \pi}{40} \approx 0,92$.
Разрешающая способность интерферометра Фабри - Перо определяется по формуле
$\frac{ \lambda}{ \Delta \lambda} = \frac{m \pi r}{1 - r^{2} }$,
где $m$ - порядок интерференции, $r^{2}$ - коэффициент отражения зеркал ($r^{2}$ чуть меньше единицы). Любой газовый лазер имеет на своих концах зеркала и излучает спектр линий, соответствующих различным порядкам интерференции волн между этими зеркалами. Предположим, что длина лазера равна 30 см и он излучает свет со средней длиной волны $6000 \overset{ \circ}{А}$.
а) Определите разность длин волн $\Delta \lambda$ между двумя соседними линиями излучения вблизи длины волны $6000 \overset{ \circ}{А}$.
б) Какой минимальный коэффициент отражения должны иметь зеркала в интерферометре Фабри-Перо, расположенные на расстоянии 1,5 см друг от друга, чтобы с его помощью можно было разрешить две линии с разностью длин волн $\Delta \lambda$, найденной в п. «а»?
Решение:
а) Найдем разность фаз между двумя волнами излучения $\lambda$ и $\lambda^{ \prime}$ при прохождении ими расстояния $d$:
$\delta = 2 \pi \left ( \frac{d}{ \lambda} - \frac{d}{ \lambda^{ \prime} } \right ) \approx \frac{2 \pi d}{ \lambda^{2} } \Delta \lambda$;
здесь $\Delta \lambda$ - разность длин волн. Подставляя в эту формулу $d = 2 \cdot 30 = 60 см, \lambda = 6000 \overset{ \circ}{А}$ и $\delta = 2 \pi$, находим
$\Delta \lambda = \frac{ \lambda^{2} }{d} \approx 6 \cdot 10^{-3} \overset{ \circ}{А}$.
б) Разрешающая способность должна быть равна
$\frac{ \lambda}{ \Delta \lambda} = 10^{6}$.
Порядок интерференции
$m = \frac{2d}{ \lambda} = \frac{2 \cdot 1,5 \cdot 10^{8}}{6000} = 50 000$.
Из формулы, приведенной в задаче, находим, что коэффициент отражения должен удовлетворять условию
$r^{2} + \frac{ \pi r}{20} - 1 \geq 0$
или
$\left ( r - 1 + \frac{ \pi}{40} \right ) \left (r + 1 + \frac{ \pi}{40} \right ) \geq \frac{ \pi^{2} }{40^{2} } \approx 0$.
Отсюда для разрешения двух линий с $\Delta \lambda = 6 \cdot 10^{-3} \overset{ \circ}{А}$ следует выбрать
$r \approx 1 - \frac{ \pi}{40} \approx 0,92$.
