Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 11105
2019-10-29 
В идеальном электронном газе среднее число частиц в квантовом состоянии с энергией $E_{i}$ равно
$\bar{N}_{i} \sim \frac{1}{e^{ \beta (E_{i} - \mu ) } + 1 } $, где $\beta \equiv \frac{1}{kT}$.
а) Получите выражение, из которого можно найти $\mu$ в зависимости от плотности числа частиц $n$, температуры $T$ и других параметров.
б) Покажите, что эта формула в предельном случае $n \lambda^{3} \ll 1$ (где $\lambda$ - дебройлевская длина волны для теплового движения частиц) сводится к распределению Максвелла - Больцмана.
в) Рассмотрите электронный газ в металле при комнатной температуре. Оцените степень несоответствия предельному случаю и покажите, что статистика Максвелла - Больцмана не применима к этому газу.
Решение:
а) Параметр $\mu$ можно найти из условия
$\sum_{i} \bar{N}_{i} = n$.
Используя приведенное в условии задачи выражение $\bar{N}_{i}$ получаем
$\frac{2}{(2 \pi \hbar)^{3} } \int_{0}^{ \infty} \frac{1}{e^{ \beta (E - \mu) } + 1 } d^{3}p = n$; (1)
здесь множитель 2 в числителе введен потому, что электроны обладают спином 1/2. Так как $E = \frac{p^{2}}{2m}$, то выражение (1) принимает вид
$\frac{2}{ (2 \pi \hbar)^{3} } \int_{0}^{ \infty} \frac{1}{e^{ \beta \left ( \frac{p^{2} }{2m} - \mu \right ) } + 1 } 4 \pi p^{2} dp = n$. (2)
Отсюда можно найти $\mu$. В случае $e^{ \mu \beta} \ll 1$ подынтегральное выражение в (2) можно разложить в ряд и получить следующее соотношение:
$2 \left ( \frac{mkT}{2 \pi \hbar^{2} } \right )^{3/2} \left ( e^{ \mu \beta} - 2^{ -3/2 }e^{2 \mu \beta} + \cdots \right ) = n$. (3)
б) Дебройлевская длина волны для теплового движения частицы с массой $m$ и энергией $nkT$ дается выражением
$\lambda = \sqrt{ \frac{2 \pi \hbar^{2} }{mkT} }$.
При $n \lambda^{3} \ll 1$ в разложении (3) можно пренебречь членами высокого порядка малости и записать
$e^{ \mu \beta} = \frac{n \lambda^{3} }{2} = \frac{N}{2V} \lambda^{3} \ll 1$, (4)
где $V$ - объем, занимаемый частицами. Таким образом, среднее число частиц $\bar{N}_{i}$ в состоянии с энергией $E_{i}$ равно
$\bar{N}_{i} \sim e^{ - \beta (E_{i} - \mu ) } = \frac{N}{2} \frac{ \lambda^{3} }{V} e^{ - \beta E_{i} }$.
в) При комнатной температуре $kT \approx 1/40 эВ$; подставляя формулу для $\lambda$ это значение $kT$, а также постоянные $m_{e}c^{2} \approx 0,5 \cdot 10^{6} эВ$ и $\hbar c = 1973 эВ \cdot \overset{ \circ}{A}$, получаем
$\lambda \approx \sqrt{ \frac{6,3 \cdot 1973^{2} }{0,5 \cdot 10^{6} \cdot 1/40 } } \approx 44 \overset{ \circ}{А}$.
Следовательно,
$n \lambda^{3} \approx 10^{-19} \cdot 10^{24} = 10^{5}$,
и статистика Максвелла - Больцмана к электронному газу не применима.
В идеальном электронном газе среднее число частиц в квантовом состоянии с энергией $E_{i}$ равно
$\bar{N}_{i} \sim \frac{1}{e^{ \beta (E_{i} - \mu ) } + 1 } $, где $\beta \equiv \frac{1}{kT}$.
а) Получите выражение, из которого можно найти $\mu$ в зависимости от плотности числа частиц $n$, температуры $T$ и других параметров.
б) Покажите, что эта формула в предельном случае $n \lambda^{3} \ll 1$ (где $\lambda$ - дебройлевская длина волны для теплового движения частиц) сводится к распределению Максвелла - Больцмана.
в) Рассмотрите электронный газ в металле при комнатной температуре. Оцените степень несоответствия предельному случаю и покажите, что статистика Максвелла - Больцмана не применима к этому газу.
Решение:
а) Параметр $\mu$ можно найти из условия
$\sum_{i} \bar{N}_{i} = n$.
Используя приведенное в условии задачи выражение $\bar{N}_{i}$ получаем
$\frac{2}{(2 \pi \hbar)^{3} } \int_{0}^{ \infty} \frac{1}{e^{ \beta (E - \mu) } + 1 } d^{3}p = n$; (1)
здесь множитель 2 в числителе введен потому, что электроны обладают спином 1/2. Так как $E = \frac{p^{2}}{2m}$, то выражение (1) принимает вид
$\frac{2}{ (2 \pi \hbar)^{3} } \int_{0}^{ \infty} \frac{1}{e^{ \beta \left ( \frac{p^{2} }{2m} - \mu \right ) } + 1 } 4 \pi p^{2} dp = n$. (2)
Отсюда можно найти $\mu$. В случае $e^{ \mu \beta} \ll 1$ подынтегральное выражение в (2) можно разложить в ряд и получить следующее соотношение:
$2 \left ( \frac{mkT}{2 \pi \hbar^{2} } \right )^{3/2} \left ( e^{ \mu \beta} - 2^{ -3/2 }e^{2 \mu \beta} + \cdots \right ) = n$. (3)
б) Дебройлевская длина волны для теплового движения частицы с массой $m$ и энергией $nkT$ дается выражением
$\lambda = \sqrt{ \frac{2 \pi \hbar^{2} }{mkT} }$.
При $n \lambda^{3} \ll 1$ в разложении (3) можно пренебречь членами высокого порядка малости и записать
$e^{ \mu \beta} = \frac{n \lambda^{3} }{2} = \frac{N}{2V} \lambda^{3} \ll 1$, (4)
где $V$ - объем, занимаемый частицами. Таким образом, среднее число частиц $\bar{N}_{i}$ в состоянии с энергией $E_{i}$ равно
$\bar{N}_{i} \sim e^{ - \beta (E_{i} - \mu ) } = \frac{N}{2} \frac{ \lambda^{3} }{V} e^{ - \beta E_{i} }$.
в) При комнатной температуре $kT \approx 1/40 эВ$; подставляя формулу для $\lambda$ это значение $kT$, а также постоянные $m_{e}c^{2} \approx 0,5 \cdot 10^{6} эВ$ и $\hbar c = 1973 эВ \cdot \overset{ \circ}{A}$, получаем
$\lambda \approx \sqrt{ \frac{6,3 \cdot 1973^{2} }{0,5 \cdot 10^{6} \cdot 1/40 } } \approx 44 \overset{ \circ}{А}$.
Следовательно,
$n \lambda^{3} \approx 10^{-19} \cdot 10^{24} = 10^{5}$,
и статистика Максвелла - Больцмана к электронному газу не применима.
