Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 11104
2019-10-29 
Два одинаковых тела с постоянной теплоемкостью $C_{p}$ используют в качестве тепловых резервуаров в тепловой машине. Их начальные температуры равны $T_{1}$ и $T_{2}$ соответственно. Получите выражение для максимальной работы, которую может совершить эта система, в предположении, что оба тела находятся при постоянном давлении и не претерпевают фазовых превращений.
Решение:
Пусть $t_{1}$ и $t_{2}$ - мгновенные значения температур тела 1 и тела 2, a $dW$ - элементарная работа, совершаемая системой, когда этим телам сообщают тепло $-dQ_{1}$ и $dQ_{2}$ соответственно (знак минус перед $dQ_{1}$ означает, что это тепло фактически отбирается от тела 1). В таком случае максимально достижимый
$К.п.д. = \frac{t_{1} - t_{2} }{t_{1} } = - \frac{dW}{dQ_{1} } = - \frac{dW}{C_{p}dt_{1} }$.
Следовательно,
$-dW = C_{p} \frac{t_{1} - t_{2} }{t_{1} } dt_{1}$. (1)
В соответствии с первым законом термодинамики часть тепла, отбираемого от тела 1, затрачивается системой на работу, а остальная часть передается телу 2, т. е.
$C_{p}(T_{1} - t_{1}) = W + C_{p}(t_{2} - T_{2})$,
или
$- C_{p}t_{2} = W + C_{p}(t_{1} - T_{1} - T_{2})$. (2)
Подставляя выражение (2) в (1), получаем
$dW = - \frac{dt_{1} }{t_{1} } [W + C_{p} (2t_{1} - T_{1} - T_{2})]$,
или
$d(Wt_{1}) = -C_{p} (2t_{1} - T_{1} - T_{2})dt_{1}$. (3)
Интегрируя это выражение в пределах от $T_{1}$ до $T_{f}$, где $T_{f}$ - конечная температура обоих тел, имеем
$WT_{f} = C_{p} [ T_{1}^{2} - T_{f}^{2} - (T_{1} + T_{2})(T_{1} - T_{f})]$. (4)
Здесь мы учли начальное условие $W = 0$ при $t_{1} = T_{1}$. Конечную температуру $T_{f}$ находим из уравнения (2), полагая в нем $t_{2} = t_{1} = T_{f}$:
$T_{f} = \frac{1}{2} \left ( T_{1} + T_{2} - \frac{W}{C_{p} } \right )$. (5)
Максимальную работу $W$, совершаемую рассматриваемой системой, не трудно найти, если подставить (5) в выражение (4).
Два одинаковых тела с постоянной теплоемкостью $C_{p}$ используют в качестве тепловых резервуаров в тепловой машине. Их начальные температуры равны $T_{1}$ и $T_{2}$ соответственно. Получите выражение для максимальной работы, которую может совершить эта система, в предположении, что оба тела находятся при постоянном давлении и не претерпевают фазовых превращений.
Решение:
Пусть $t_{1}$ и $t_{2}$ - мгновенные значения температур тела 1 и тела 2, a $dW$ - элементарная работа, совершаемая системой, когда этим телам сообщают тепло $-dQ_{1}$ и $dQ_{2}$ соответственно (знак минус перед $dQ_{1}$ означает, что это тепло фактически отбирается от тела 1). В таком случае максимально достижимый
$К.п.д. = \frac{t_{1} - t_{2} }{t_{1} } = - \frac{dW}{dQ_{1} } = - \frac{dW}{C_{p}dt_{1} }$.
Следовательно,
$-dW = C_{p} \frac{t_{1} - t_{2} }{t_{1} } dt_{1}$. (1)
В соответствии с первым законом термодинамики часть тепла, отбираемого от тела 1, затрачивается системой на работу, а остальная часть передается телу 2, т. е.
$C_{p}(T_{1} - t_{1}) = W + C_{p}(t_{2} - T_{2})$,
или
$- C_{p}t_{2} = W + C_{p}(t_{1} - T_{1} - T_{2})$. (2)
Подставляя выражение (2) в (1), получаем
$dW = - \frac{dt_{1} }{t_{1} } [W + C_{p} (2t_{1} - T_{1} - T_{2})]$,
или
$d(Wt_{1}) = -C_{p} (2t_{1} - T_{1} - T_{2})dt_{1}$. (3)
Интегрируя это выражение в пределах от $T_{1}$ до $T_{f}$, где $T_{f}$ - конечная температура обоих тел, имеем
$WT_{f} = C_{p} [ T_{1}^{2} - T_{f}^{2} - (T_{1} + T_{2})(T_{1} - T_{f})]$. (4)
Здесь мы учли начальное условие $W = 0$ при $t_{1} = T_{1}$. Конечную температуру $T_{f}$ находим из уравнения (2), полагая в нем $t_{2} = t_{1} = T_{f}$:
$T_{f} = \frac{1}{2} \left ( T_{1} + T_{2} - \frac{W}{C_{p} } \right )$. (5)
Максимальную работу $W$, совершаемую рассматриваемой системой, не трудно найти, если подставить (5) в выражение (4).
