ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2019-10-29   
Фотонный газ заполняет камеру объемом $V_{нач}$ при температуре $T_{нач}$. Эту систему адиабатически и обратимо расширяют до объема $V_{конеч} = 8V_{нач}$. Во сколько раз изменится температура системы?


Решение:


Для описания излучения абсолютно черного тела рассмотрим следующее уравнение для $TdS$:

$TdS = C_{V}dT + T \left ( \frac{ \partial P}{ \partial T} \right )_{V} dV$

и соотношения (В этих соотношениях $u$ - плотность энергии системы, $U = uV$ - ее внутренняя энергия, $\sigma$ - постоянная Стефана - Больцмана и $c$ - скорость света.)

$P = \frac{u}{3} = \frac{4 \sigma T^{4} }{3c}$ и $C_{V} = \left ( \frac{ \partial U}{ \partial T} \right )_{V} = \frac{16 \sigma}{c} T^{3} V$.

Тогда получим

$TdS = 0 = \frac{16 \sigma }{c} T^{3}VdT + \frac{16 \sigma T^{3} }{3c} TdV$,

откуда

$\frac{dV}{V} + \frac{3dT}{T} = 0$.

После интегрирования имеем

$VT^{3} = const$.

Следовательно, в результате адиабатического расширения камеры получаем

$T_{конеч} = \left ( \frac{V_{нач} }{V_{конеч} } \right )^{1/3} T_{нач}$.

Поскольку $V_{конеч} = 8V_{нач}$, то

$T_{конеч} = \frac{1}{2} T_{нач}$,

т. е. температура уменьшится в два раза.