Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 11092
2019-10-29 
а) Один литр газа $N_{2}$, содержащийся в запаянном цилиндре при атмосферном давлении и температуре $0^{ \circ} С$, нагревают до $100^{ \circ} С$ посредством контакта с неограниченным тепловым резервуаром, имеющим температуру $100^{ \circ} С$. Как изменится при этом энтропия газа и Вселенной?
б) Предположим, что одна из стенок этого цилиндра может перемещаться подобно поршню. Предложите способ повышения температуры газа до $100^{ \circ} С$ (с конечным объемом 1 л) без изменения энтропии Вселенной. [Универсальную газовую постоянную $R$ полагайте равной $2 кал/(моль \cdot К)$.]
Решение:
В соответствии с первым началом термодинамики и определением энтропии имеем
$TdS = C_{V}dT + PdV$. (1)
а) Изменение энтропии газообразного азота, если он занимает постоянный объем, а температура его повышается от $T_{0} = 0^{ \circ} С$ до $T = 100^{ \circ} С$, вычисляется по формуле
$\Delta S_{N_{2} } = \int_{T_{0} }^{T} \frac{C_{V}dT }{T} = C_{V} \ln \frac{373}{273} = 0,312C_{V}$. (2)
Молярная теплоемкость двухатомного газа при комнатной температуре равна $5/2R$. Следовательно, теплоемкость одного литра этого газа составляет
$C_{V} = \frac{5}{2} R \frac{1}{22,4} \approx \frac{5}{2} \cdot 2 \cdot \frac{1}{22,4} = 0,223 кал/К$.
Подставляя это значение $C_{V}$ в формулу (2), получаем
$\Delta S_{N_{2} } = 0,312 \cdot 0,223 = 0,0696 кал/К$.
Изменение энтропии резервуара при температуре $100^{ \circ} С$ равно
$\Delta S_{peз} = - \frac{ \Delta Q}{T} = - \frac{0,223 \cdot 100}{373} = - 0,0598 кал/К$.
Следовательно, энтропия Вселенной изменяется на
$\Delta S_{Вс} = \Delta S_{N_{2}} + \Delta S_{peз} = 9,8 \cdot 10^{-4} кал/К$.
б) Пользуясь тем, что одна из стенок сосуда подвижна, можно вначале газ сжать адиабатически, а затем, когда его температура поднимется до $100^{ \circ} С$, привести сосуд в контакт с тепловым резервуаром и заставить газ расширяться изотермически до первоначального объема.
При адиабатическом процессе энтропия не изменяется. При изотермическом процессе изменение энтропии азота составляет ($Q/T$), а теплового резервуара ($-Q/T$). Таким образом, общее изменение энтропии Вселенной равно нулю:
$(0) + (Q/T) + (-Q/T) = 0$.
а) Один литр газа $N_{2}$, содержащийся в запаянном цилиндре при атмосферном давлении и температуре $0^{ \circ} С$, нагревают до $100^{ \circ} С$ посредством контакта с неограниченным тепловым резервуаром, имеющим температуру $100^{ \circ} С$. Как изменится при этом энтропия газа и Вселенной?
б) Предположим, что одна из стенок этого цилиндра может перемещаться подобно поршню. Предложите способ повышения температуры газа до $100^{ \circ} С$ (с конечным объемом 1 л) без изменения энтропии Вселенной. [Универсальную газовую постоянную $R$ полагайте равной $2 кал/(моль \cdot К)$.]
Решение:
В соответствии с первым началом термодинамики и определением энтропии имеем
$TdS = C_{V}dT + PdV$. (1)
а) Изменение энтропии газообразного азота, если он занимает постоянный объем, а температура его повышается от $T_{0} = 0^{ \circ} С$ до $T = 100^{ \circ} С$, вычисляется по формуле
$\Delta S_{N_{2} } = \int_{T_{0} }^{T} \frac{C_{V}dT }{T} = C_{V} \ln \frac{373}{273} = 0,312C_{V}$. (2)
Молярная теплоемкость двухатомного газа при комнатной температуре равна $5/2R$. Следовательно, теплоемкость одного литра этого газа составляет
$C_{V} = \frac{5}{2} R \frac{1}{22,4} \approx \frac{5}{2} \cdot 2 \cdot \frac{1}{22,4} = 0,223 кал/К$.
Подставляя это значение $C_{V}$ в формулу (2), получаем
$\Delta S_{N_{2} } = 0,312 \cdot 0,223 = 0,0696 кал/К$.
Изменение энтропии резервуара при температуре $100^{ \circ} С$ равно
$\Delta S_{peз} = - \frac{ \Delta Q}{T} = - \frac{0,223 \cdot 100}{373} = - 0,0598 кал/К$.
Следовательно, энтропия Вселенной изменяется на
$\Delta S_{Вс} = \Delta S_{N_{2}} + \Delta S_{peз} = 9,8 \cdot 10^{-4} кал/К$.
б) Пользуясь тем, что одна из стенок сосуда подвижна, можно вначале газ сжать адиабатически, а затем, когда его температура поднимется до $100^{ \circ} С$, привести сосуд в контакт с тепловым резервуаром и заставить газ расширяться изотермически до первоначального объема.
При адиабатическом процессе энтропия не изменяется. При изотермическом процессе изменение энтропии азота составляет ($Q/T$), а теплового резервуара ($-Q/T$). Таким образом, общее изменение энтропии Вселенной равно нулю:
$(0) + (Q/T) + (-Q/T) = 0$.
