Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 11089
2019-10-29 
Рассмотрим образец из $N$ атомов, обладающих магнитными моментами. Пусть спиновый магнитный момент каждого атома равен 1/2. Известно, что при очень низких температурах такая система является ферромагнетиком, поскольку при $T \rightarrow 0$ все спины выстраиваются в одном направлении. Наоборот, при достаточно высоких температурах они ориентированы беспорядочно. Пренебрегая всеми степенями свободы, за исключением спиновой,
а) определите энтропию этой системы методами статистической физики и термодинамики, выразив ее в последнем случае через теплоемкость и спиновую температуру,
б) докажите, что теплоемкость $C(T)$ должна удовлетворять уравнению
$ \int_{0}^{ \infty} \frac{C(T)dT}{T} = kN ln 2$
независимо от деталей взаимодействия, характерного для ферромагнетика, и, следовательно, без учета конкретной зависимости $C$ от $T$.
Решение:
а) В статистической физике энтропию определяют следующим образом:
$S = k ln W (n_{i} )$,
где $n_{i}$ - среднее число частиц в $i$-м состоянии, a $W (n_{i})$ - число всевозможных способов реализации системы из совокупностей частиц $n_{i}, i = 1, 2, \cdots$. В нашем случае
$W(n_{i} ) = \frac{N! }{n_{1}!n_{2}! }$,
где $n_{1}$ и $n_{2}$ - число атомов с прямой и противоположной ориентациями спинов соответственно, причем $n_{1} + n_{2} = N$. Поскольку $n_{i} \gg 1$, можно воспользоваться формулой Стирлинга
$ln n! = n(ln n - 1)$.
Таким образом, получаем
$S = k[N ln N - ( n_{1} ln n_{1} + n_{2} ln n_{2}) - N + (n_{1} + n_{2})] = - k \sum_{i} ln \frac{n_{i} }{N}$.
В нашем случае $i = 1, 2$, т. е.
$S = - k \left ( n_{1}ln \frac{n_{1} }{N} + n_{2} ln \frac{n_{2} }{N} \right )$. (1)
Энтропию можно определить и другим способом. Опытным путем было установлено, что если количество тепла, сообщаемое системе в каждой точке любого непрерывного процесса, разделить на температуру $T$ и проинтегрировать полученное отношение, то результат оказывается независимым от пути интегрирования. Поскольку в физике инварианты играют большую роль, то приведем эту величину:
$S_{T} = \int_{0}^{T} \frac{dQ}{T} = \int_{0}^{T} \frac{CdT}{T}$. (2)
б) При $T \rightarrow 0$ все спины принимают одинаковую ориентацию. Следовательно, $n_{1} = N, n_{2} = 0$, и из (1) получаем $S_{0} = 0$ (Рассуждения автора непоследовательны, так как выведенное на основе формулы Стирлинга выражение (1) неприменимо при $n_{2} \rightarrow 0$. Правильное доказательство $S_{0} = 0$ (теорема Нернста) см. в учебниках по статистической физике.). При $T \rightarrow \infty$ спины ориентированы беспорядочно, и $n_{1} = n_{2} = N/2$. В этом случае
$S_{ \infty} = -kN ln \left ( \frac{n_{1} }{N} \right ) = kN ln 2$. (3)
Из (2) и (3) следует
$S_{ \infty} \equiv \int_{0}^{ \infty} \frac{C(T)dT}{T} = kN ln 2$.
Рассмотрим образец из $N$ атомов, обладающих магнитными моментами. Пусть спиновый магнитный момент каждого атома равен 1/2. Известно, что при очень низких температурах такая система является ферромагнетиком, поскольку при $T \rightarrow 0$ все спины выстраиваются в одном направлении. Наоборот, при достаточно высоких температурах они ориентированы беспорядочно. Пренебрегая всеми степенями свободы, за исключением спиновой,
а) определите энтропию этой системы методами статистической физики и термодинамики, выразив ее в последнем случае через теплоемкость и спиновую температуру,
б) докажите, что теплоемкость $C(T)$ должна удовлетворять уравнению
$ \int_{0}^{ \infty} \frac{C(T)dT}{T} = kN ln 2$
независимо от деталей взаимодействия, характерного для ферромагнетика, и, следовательно, без учета конкретной зависимости $C$ от $T$.
Решение:
а) В статистической физике энтропию определяют следующим образом:
$S = k ln W (n_{i} )$,
где $n_{i}$ - среднее число частиц в $i$-м состоянии, a $W (n_{i})$ - число всевозможных способов реализации системы из совокупностей частиц $n_{i}, i = 1, 2, \cdots$. В нашем случае
$W(n_{i} ) = \frac{N! }{n_{1}!n_{2}! }$,
где $n_{1}$ и $n_{2}$ - число атомов с прямой и противоположной ориентациями спинов соответственно, причем $n_{1} + n_{2} = N$. Поскольку $n_{i} \gg 1$, можно воспользоваться формулой Стирлинга
$ln n! = n(ln n - 1)$.
Таким образом, получаем
$S = k[N ln N - ( n_{1} ln n_{1} + n_{2} ln n_{2}) - N + (n_{1} + n_{2})] = - k \sum_{i} ln \frac{n_{i} }{N}$.
В нашем случае $i = 1, 2$, т. е.
$S = - k \left ( n_{1}ln \frac{n_{1} }{N} + n_{2} ln \frac{n_{2} }{N} \right )$. (1)
Энтропию можно определить и другим способом. Опытным путем было установлено, что если количество тепла, сообщаемое системе в каждой точке любого непрерывного процесса, разделить на температуру $T$ и проинтегрировать полученное отношение, то результат оказывается независимым от пути интегрирования. Поскольку в физике инварианты играют большую роль, то приведем эту величину:
$S_{T} = \int_{0}^{T} \frac{dQ}{T} = \int_{0}^{T} \frac{CdT}{T}$. (2)
б) При $T \rightarrow 0$ все спины принимают одинаковую ориентацию. Следовательно, $n_{1} = N, n_{2} = 0$, и из (1) получаем $S_{0} = 0$ (Рассуждения автора непоследовательны, так как выведенное на основе формулы Стирлинга выражение (1) неприменимо при $n_{2} \rightarrow 0$. Правильное доказательство $S_{0} = 0$ (теорема Нернста) см. в учебниках по статистической физике.). При $T \rightarrow \infty$ спины ориентированы беспорядочно, и $n_{1} = n_{2} = N/2$. В этом случае
$S_{ \infty} = -kN ln \left ( \frac{n_{1} }{N} \right ) = kN ln 2$. (3)
Из (2) и (3) следует
$S_{ \infty} \equiv \int_{0}^{ \infty} \frac{C(T)dT}{T} = kN ln 2$.
