Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 11086
2019-10-29 
Стопа из $N$ стеклянных пластинок с показателем преломления $n$ и толщиной пластинок $t$ собрана таким образом, что каждая пластинка выступает на высоту $s$ относительно предыдущей, как показано на рисунке.
Слева на стопу падает пучок света с длиной волны $\lambda$. Рассмотрите пучки света, исходящие от каждой ступеньки, и определите условие образования интерференционной картины за стопой при малых углах падения входного пучка. Определите порядок интерференции, если $n = 1,5, t = 0,5 см$ и $\lambda = 5000 \overset{ \circ}{А}$. Вычислите угловую дисперсию и разрешающую способность стопы, состоящей из 40 пластинок с тем же показателем преломления и той же толщиной пластинок. При этом предположите, что внутри стопы показатель преломления почти не меняется.
Решение:
Такой оптический прибор называется пропускающим эшелоном. Принцип действия его аналогичен щелевой дифракционной решетке. Изменение фазы $\delta$, вносимое одной «щелью» относительно другой, дается выражением
$\delta = \frac{2 \pi [(n - \cos \delta)t + s \sin \delta]}{ \lambda}$,
где $\theta$ - угол между дифрагированным лучом и падающим пучком. В случае малых углов дифракции $\theta$ имеем
$\delta \approx \frac{2 \pi [(n - 1)t + s \theta]}{ \lambda}$. (1)
Применим теперь формулу для углового распределения интенсивности света на $N$-щелевой дифракционной решетке:
$I \sim \frac{ \sin^{2} \beta }{ \beta^{2} } \frac{ \sin^{2} N \frac{ \delta}{2} }{ \sin^{2} \frac{ \delta }{2} }$; (2)
здесь
$\beta = \frac{ \pi}{ \lambda} s \sin \theta \approx \frac{ \pi}{ \lambda} s \theta$.
Множитель $\frac{ \sin^{2} \beta}{ \beta^{2}}$ обусловлен дифракцией от одной «щели», а множитель $\frac{ \sin^{2} \frac{N \delta}{2}}{ \sin^{2} \frac{ \delta}{2} }$ связан с интерференцией пучков от $N$ «щелей».
Дифракционные максимумы соответствуют значениям
$\frac{ \delta}{2} = 0, \pi, 2 \pi, \cdots$,
или
$\frac{ \pi [(n - 1)t + s \theta] }{ \lambda} = m \pi$, где $m$ - целое число.
Отсюда находим углы, соответствующие максимумам в дифракционной картине:
$\theta = \frac{1}{s} [m \lambda - (n - 1)t] \equiv \theta_{m}$. (3)
Подставляя в формулу (3) значения $\theta \approx 0, n = 1,5, t = 0,5$ см и $\lambda = 5000 \overset{ \circ}{А}$, получаем
$\frac{1}{s} [m( 5 \cdot 10^{-5}) - (0,5)^{2}] \approx 0$.
Следовательно, порядок интерференции
$m = 5 \cdot 10^{3}$. (4)
Выражение для угловой дисперсии $\frac{ \Delta \theta}{ \Delta \lambda}$, можно получить непосредственно из формулы (3). Для малых значений $\frac{dn}{d \lambda}$ оно имеет вид
$\frac{ \Delta \theta}{ \Delta \lambda} = \frac{1}{s} \left ( m - t \frac{dn}{d \lambda} \right ) \approx \frac{m}{s}$, (5)
Разрешающая способность эшелона зависит от углового расстояния $\Delta \theta$ между главным максимумом и ближайшим минимумом в интерференционной картине $m$-го порядка. Дифракционные минимумы соответствуют значениям
$\frac{ \delta}{2} = m \pi + \frac{ \pi}{N}$,
или, если учесть (1), углам дифракции
$\theta_{m}^{ \prime} = \frac{1}{s} \left [ \frac{ \lambda}{N} + m \lambda - (n - 1)t \right ]$. (6)
Из (6) и (3) находим угловую полуширину главного максимума
$\Delta \theta \approx ( \theta_{m}^{ \prime} - \theta_{m} ) = \frac{1}{s} \frac{ \lambda}{N}$. (7)
Пусть $\theta_{1}$ и $\theta_{2}$ - углы дифракции, соответствующие главным максимумам на длинах волн $\lambda_{1}$ и $\lambda_{2}$. Предельное угловое разрешение эшелона дается формулой (7), когда $\Delta \theta$ равно разности углов дифракции $\theta_{1}$ и $\theta_{2}$:
$\Delta \theta \approx \theta_{1} - \theta_{2} = \frac{1}{s} \frac{ \lambda }{N}$.
Из формулы (3) находим $\theta_{1} - \theta_{2}$. Тогда последнее выражение принимает вид
$\frac{1}{s} [m \lambda_{1} - (n - 1)t ] - \frac{1}{s} [m \lambda_{2} - ( n - 1)t ] = \frac{1}{s} \frac{ \lambda}{N}$,
откуда следует, что разрешающая способность эшелона равна
$\frac{ \lambda_{1} }{ \lambda_{1} - \lambda_{2} } = \frac{ \lambda }{ \Delta \lambda} = mN = 5 \cdot 10^{3} \cdot 40 = 2 \cdot 10^{5}$.
Стопа из $N$ стеклянных пластинок с показателем преломления $n$ и толщиной пластинок $t$ собрана таким образом, что каждая пластинка выступает на высоту $s$ относительно предыдущей, как показано на рисунке.
Слева на стопу падает пучок света с длиной волны $\lambda$. Рассмотрите пучки света, исходящие от каждой ступеньки, и определите условие образования интерференционной картины за стопой при малых углах падения входного пучка. Определите порядок интерференции, если $n = 1,5, t = 0,5 см$ и $\lambda = 5000 \overset{ \circ}{А}$. Вычислите угловую дисперсию и разрешающую способность стопы, состоящей из 40 пластинок с тем же показателем преломления и той же толщиной пластинок. При этом предположите, что внутри стопы показатель преломления почти не меняется.
Решение:
Такой оптический прибор называется пропускающим эшелоном. Принцип действия его аналогичен щелевой дифракционной решетке. Изменение фазы $\delta$, вносимое одной «щелью» относительно другой, дается выражением
$\delta = \frac{2 \pi [(n - \cos \delta)t + s \sin \delta]}{ \lambda}$,
где $\theta$ - угол между дифрагированным лучом и падающим пучком. В случае малых углов дифракции $\theta$ имеем
$\delta \approx \frac{2 \pi [(n - 1)t + s \theta]}{ \lambda}$. (1)
Применим теперь формулу для углового распределения интенсивности света на $N$-щелевой дифракционной решетке:
$I \sim \frac{ \sin^{2} \beta }{ \beta^{2} } \frac{ \sin^{2} N \frac{ \delta}{2} }{ \sin^{2} \frac{ \delta }{2} }$; (2)
здесь
$\beta = \frac{ \pi}{ \lambda} s \sin \theta \approx \frac{ \pi}{ \lambda} s \theta$.
Множитель $\frac{ \sin^{2} \beta}{ \beta^{2}}$ обусловлен дифракцией от одной «щели», а множитель $\frac{ \sin^{2} \frac{N \delta}{2}}{ \sin^{2} \frac{ \delta}{2} }$ связан с интерференцией пучков от $N$ «щелей».
Дифракционные максимумы соответствуют значениям
$\frac{ \delta}{2} = 0, \pi, 2 \pi, \cdots$,
или
$\frac{ \pi [(n - 1)t + s \theta] }{ \lambda} = m \pi$, где $m$ - целое число.
Отсюда находим углы, соответствующие максимумам в дифракционной картине:
$\theta = \frac{1}{s} [m \lambda - (n - 1)t] \equiv \theta_{m}$. (3)
Подставляя в формулу (3) значения $\theta \approx 0, n = 1,5, t = 0,5$ см и $\lambda = 5000 \overset{ \circ}{А}$, получаем
$\frac{1}{s} [m( 5 \cdot 10^{-5}) - (0,5)^{2}] \approx 0$.
Следовательно, порядок интерференции
$m = 5 \cdot 10^{3}$. (4)
Выражение для угловой дисперсии $\frac{ \Delta \theta}{ \Delta \lambda}$, можно получить непосредственно из формулы (3). Для малых значений $\frac{dn}{d \lambda}$ оно имеет вид
$\frac{ \Delta \theta}{ \Delta \lambda} = \frac{1}{s} \left ( m - t \frac{dn}{d \lambda} \right ) \approx \frac{m}{s}$, (5)
Разрешающая способность эшелона зависит от углового расстояния $\Delta \theta$ между главным максимумом и ближайшим минимумом в интерференционной картине $m$-го порядка. Дифракционные минимумы соответствуют значениям
$\frac{ \delta}{2} = m \pi + \frac{ \pi}{N}$,
или, если учесть (1), углам дифракции
$\theta_{m}^{ \prime} = \frac{1}{s} \left [ \frac{ \lambda}{N} + m \lambda - (n - 1)t \right ]$. (6)
Из (6) и (3) находим угловую полуширину главного максимума
$\Delta \theta \approx ( \theta_{m}^{ \prime} - \theta_{m} ) = \frac{1}{s} \frac{ \lambda}{N}$. (7)
Пусть $\theta_{1}$ и $\theta_{2}$ - углы дифракции, соответствующие главным максимумам на длинах волн $\lambda_{1}$ и $\lambda_{2}$. Предельное угловое разрешение эшелона дается формулой (7), когда $\Delta \theta$ равно разности углов дифракции $\theta_{1}$ и $\theta_{2}$:
$\Delta \theta \approx \theta_{1} - \theta_{2} = \frac{1}{s} \frac{ \lambda }{N}$.
Из формулы (3) находим $\theta_{1} - \theta_{2}$. Тогда последнее выражение принимает вид
$\frac{1}{s} [m \lambda_{1} - (n - 1)t ] - \frac{1}{s} [m \lambda_{2} - ( n - 1)t ] = \frac{1}{s} \frac{ \lambda}{N}$,
откуда следует, что разрешающая способность эшелона равна
$\frac{ \lambda_{1} }{ \lambda_{1} - \lambda_{2} } = \frac{ \lambda }{ \Delta \lambda} = mN = 5 \cdot 10^{3} \cdot 40 = 2 \cdot 10^{5}$.
