Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 11085
2019-10-29 
В оптической системе, показанной ниже на рисунке, лучи света от точечного источника вначале отклоняются призмой, а затем собираются тонкой линзой с фокусным расстоянием $f$. Призма изготовлена из стекла с показателем преломления $n$ и имеет малый преломляющий угол $\alpha$ (т. е. допустима малоугловая аппроксимация).
а) На какой угол призма отклоняет лучи при почти нормальном падении на нее (т. е. почти перпендикулярном одной из ее граней)?
б) Определите положение изображения, формируемого системой, по горизонтали и вертикали для указанных на рисунке расстояний между источником, призмой и линзой.
Решение:
а) Согласно закону Снеллиуса
$\sin \theta_{1} = n \sin \theta_{2}$. (1)
Отсюда при малых углах падения $\theta_{1}$ имеем
$\theta_{1} = n \theta_{2}$. (2)
Аналогично, поскольку угол $\alpha$ мал, для второй грани призмы можно записать
$\theta_{4} = n \theta_{3}$. (3)
Из простых геометрических соотношений между углами треугольников (первый рисунок) имеем
$\alpha + \pi - \alpha^{ \prime} = \pi$, или $\alpha^{ \prime} = \alpha$.
Следовательно,
$\alpha = \theta_{2} + \theta_{3}$ (4)
и
$\delta = ( \theta_{1} - \theta_{2}) + ( \theta_{4} - \theta_{3} )$. (5)
Из соотношений (2) - (5) находим угол отклонения лучей $\delta$:
$\delta = (n - 1) \alpha$,
который, как мы видим, не зависит от угла падения $\theta_{1}$,
б) Пусть $O^{ \prime}$ - мнимое изображение точечного источника в призме.
В п. «а» было показано, что любой луч, проходя через призму, отклоняется на угол $\delta$.
Из второго рисунка мы видим, что расстояния от мнимого изображения $O^{ \prime}$ и от источника $O$ до призмы в первом приближении одинаковы, поскольку углы $\alpha$ и $\beta$ малы. Подставляя расстояние
$p = f + \frac{f}{2} = \frac{3}{2}f$
в формулу Гаусса для линзы, получаем
$\frac{1}{ \frac{3}{2}f} + \frac{1}{q} = \frac{1}{f}$.
Отсюда находим положение изображения по горизонтали
$q = 3f$.
Отклонение положения мнимого изображения источника $OO^{ \prime}$ по вертикали связано с углом $\delta$ соотношением $OO^{ \prime} = f \delta$. Теперь легко найти положение изображения, даваемое линзой по вертикали $II^{ \prime}$. Поскольку
$- \frac{II^{ \prime} }{OO^{ \prime} } = \frac{q}{p}$,
то
$II^{ \prime} = - 2 \frac{f}{f} OO^{ \prime} = - 2f \delta = - 2f(n - 1) \alpha$.
Здесь знак - означает, что изображение расположено ниже оси системы.
В оптической системе, показанной ниже на рисунке, лучи света от точечного источника вначале отклоняются призмой, а затем собираются тонкой линзой с фокусным расстоянием $f$. Призма изготовлена из стекла с показателем преломления $n$ и имеет малый преломляющий угол $\alpha$ (т. е. допустима малоугловая аппроксимация).
а) На какой угол призма отклоняет лучи при почти нормальном падении на нее (т. е. почти перпендикулярном одной из ее граней)?
б) Определите положение изображения, формируемого системой, по горизонтали и вертикали для указанных на рисунке расстояний между источником, призмой и линзой.
Решение:
а) Согласно закону Снеллиуса
$\sin \theta_{1} = n \sin \theta_{2}$. (1)
Отсюда при малых углах падения $\theta_{1}$ имеем
$\theta_{1} = n \theta_{2}$. (2)
Аналогично, поскольку угол $\alpha$ мал, для второй грани призмы можно записать
$\theta_{4} = n \theta_{3}$. (3)
Из простых геометрических соотношений между углами треугольников (первый рисунок) имеем
$\alpha + \pi - \alpha^{ \prime} = \pi$, или $\alpha^{ \prime} = \alpha$.
Следовательно,
$\alpha = \theta_{2} + \theta_{3}$ (4)
и
$\delta = ( \theta_{1} - \theta_{2}) + ( \theta_{4} - \theta_{3} )$. (5)
Из соотношений (2) - (5) находим угол отклонения лучей $\delta$:
$\delta = (n - 1) \alpha$,
который, как мы видим, не зависит от угла падения $\theta_{1}$,
б) Пусть $O^{ \prime}$ - мнимое изображение точечного источника в призме.
В п. «а» было показано, что любой луч, проходя через призму, отклоняется на угол $\delta$.
Из второго рисунка мы видим, что расстояния от мнимого изображения $O^{ \prime}$ и от источника $O$ до призмы в первом приближении одинаковы, поскольку углы $\alpha$ и $\beta$ малы. Подставляя расстояние
$p = f + \frac{f}{2} = \frac{3}{2}f$
в формулу Гаусса для линзы, получаем
$\frac{1}{ \frac{3}{2}f} + \frac{1}{q} = \frac{1}{f}$.
Отсюда находим положение изображения по горизонтали
$q = 3f$.
Отклонение положения мнимого изображения источника $OO^{ \prime}$ по вертикали связано с углом $\delta$ соотношением $OO^{ \prime} = f \delta$. Теперь легко найти положение изображения, даваемое линзой по вертикали $II^{ \prime}$. Поскольку
$- \frac{II^{ \prime} }{OO^{ \prime} } = \frac{q}{p}$,
то
$II^{ \prime} = - 2 \frac{f}{f} OO^{ \prime} = - 2f \delta = - 2f(n - 1) \alpha$.
Здесь знак - означает, что изображение расположено ниже оси системы.
