ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2019-10-29   
Система состоит из $N$ частиц, каждая из которых может иметь энергию $E = 0, E = kT$ и $E = 2kT$. Определите число частиц $N$, если в равновесном состоянии энергия системы равна $1000kT$.


Решение:


Согласно распределению Больцмана, число частиц $N_{i}(E_{i})$, находящихся в $i$-м состоянии ($i = 1, 2, 3$), пропорционально $e^{ - \frac{E_{i} }{kT}}$. Поэтому для чисел частиц с энергиями $E_{1} = 0, E_{2} = E = kT$ и $E_{3} = 2E = 2kT$ получаем следующее соотношение:

$N_{1} : N_{2} : N_{3} = 1 : e^{-1} : e^{-2}$. (1)

Поскольку общее число частиц должно сохраняться, то

$N_{1} + N_{2} + N_{3} = N$. (2)

Из формул (1) и (2) находим

$N_{1} = \frac{N}{1 + \frac{1}{e} + \frac{1}{e^{2} } }$,
$N_{2} = \frac{N}{1 + \frac{1}{e} + \frac{1}{e^{2} } } \frac{1}{e} $,

и

$N_{3} = \frac{N}{1 + \frac{1}{e} + \frac{1}{e^{2} } } \frac{1}{e^{2} } $,

Полная энергия системы определяется выражением

$E = E_{1}N_{1} + E_{2}N_{2} + E_{3}N_{3} = \frac{NkT}{1 + \frac{1}{e} + \frac{1}{e^{2} } } \left ( \frac{1}{e} + \frac{2}{e^{2} } \right )$

и по условию задачи равна $1000kT$. Следовательно, искомое число частиц равно

$N = \frac{1000(1 + e^{-2} + e^{-2} )}{e^{-1} + 2e^{-2} } \approx 2400$.