Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 11072
2019-10-28 
Тороидальный сердечник изготовлен из согнутого в кольцо стержня диаметром 1 см и длиной 1 м. На него равномерно намотана обмотка с плотностью 100 витков/см. Магнитную проницаемость стержня считайте равной проницаемости свободного пространства.
а) Каково магнитное поле в сердечнике, если через обмотку течет ток силой 100 А?
б) Найдите индуктивность обмотки (в генри), предполагая, что намотка является очень плотной и ее толщиной можно пренебречь;
в) Вычислите электрическую энергию, затрачиваемую на создание магнитного поля в сердечнике при токе силой 100 А;
г) Определите по известным значениям В и Н энергию магнитного поля, сосредоточенного в сердечнике.
Пренебречь радиальным изменением поля, считать его однородным и равным по величине полю в центре сердечника. Указать всюду единицу измерения.
Решение:
а) В соответствии с законом Ампера магнитное поле записывается в виде
$B = \mu_{0} \frac{Ni}{l}$. (1)
Подставляя сюда $N/l = 10 000 витков/м$ и $i = 100 А$, получаем
$B = 4 \pi \cdot 10^{-7} \cdot 10 000 \cdot 100 = 4 \pi \cdot 10^{-1} = 1,257 Вб/м^{2}$. (2)
б) Магнитный поток, пронизывающий сечение сердечника, равен
$\Phi = BA = 4 \pi \cdot 10^{-1} \cdot \frac{ \pi}{4} \cdot 10^{-4} = \pi^{2} \cdot 10^{-5} Вб$, (3)
и индуктивность
$L = \frac{N \Phi}{i} = \frac{10^{4} \cdot \pi^{2} \cdot 10^{-5} }{10^{2} } = \pi^{2} \cdot 10^{-2} \approx 10^{-2} Г$. (4)
в) Электрическая энергия, затрачиваемая на создание магнитного поля, дается выражением
$E = - \int_{0}^{t} \mathcal{E}i dt$, (5)
где э. д. с. самоиндукции
$\mathcal{E} = - L \frac{di}{dt}$.
Подставляя ее в формулу (5), получаем
$E = L \int_{0}^{I} idi = \frac{LI^{2} }{2} \approx 50 Дж$
(Не следует путать эту энергию с той, что отбирается от источника. Из-за различных потерь (тепловых, на излучение и др.) последняя оказывается всегда больше. Аналогичная ситуация имеет место при аккумулировании энергии электрического поля в конденсаторе.).
г) Энергия магнитного поля равна
$E = \frac{B^{2} }{2 \mu_{0} } Al = \frac{(4 \pi \cdot 10^{-1} )^{2} }{8 \pi \cdot 10^{-7} } \cdot \frac{ \pi}{4} \cdot 10^{-4} \cdot 1 = \frac{ \pi^{2} }{2} \cdot 10 \approx 50 Дж$.
Тороидальный сердечник изготовлен из согнутого в кольцо стержня диаметром 1 см и длиной 1 м. На него равномерно намотана обмотка с плотностью 100 витков/см. Магнитную проницаемость стержня считайте равной проницаемости свободного пространства.
а) Каково магнитное поле в сердечнике, если через обмотку течет ток силой 100 А?
б) Найдите индуктивность обмотки (в генри), предполагая, что намотка является очень плотной и ее толщиной можно пренебречь;
в) Вычислите электрическую энергию, затрачиваемую на создание магнитного поля в сердечнике при токе силой 100 А;
г) Определите по известным значениям В и Н энергию магнитного поля, сосредоточенного в сердечнике.
Пренебречь радиальным изменением поля, считать его однородным и равным по величине полю в центре сердечника. Указать всюду единицу измерения.
Решение:
а) В соответствии с законом Ампера магнитное поле записывается в виде
$B = \mu_{0} \frac{Ni}{l}$. (1)
Подставляя сюда $N/l = 10 000 витков/м$ и $i = 100 А$, получаем
$B = 4 \pi \cdot 10^{-7} \cdot 10 000 \cdot 100 = 4 \pi \cdot 10^{-1} = 1,257 Вб/м^{2}$. (2)
б) Магнитный поток, пронизывающий сечение сердечника, равен
$\Phi = BA = 4 \pi \cdot 10^{-1} \cdot \frac{ \pi}{4} \cdot 10^{-4} = \pi^{2} \cdot 10^{-5} Вб$, (3)
и индуктивность
$L = \frac{N \Phi}{i} = \frac{10^{4} \cdot \pi^{2} \cdot 10^{-5} }{10^{2} } = \pi^{2} \cdot 10^{-2} \approx 10^{-2} Г$. (4)
в) Электрическая энергия, затрачиваемая на создание магнитного поля, дается выражением
$E = - \int_{0}^{t} \mathcal{E}i dt$, (5)
где э. д. с. самоиндукции
$\mathcal{E} = - L \frac{di}{dt}$.
Подставляя ее в формулу (5), получаем
$E = L \int_{0}^{I} idi = \frac{LI^{2} }{2} \approx 50 Дж$
(Не следует путать эту энергию с той, что отбирается от источника. Из-за различных потерь (тепловых, на излучение и др.) последняя оказывается всегда больше. Аналогичная ситуация имеет место при аккумулировании энергии электрического поля в конденсаторе.).
г) Энергия магнитного поля равна
$E = \frac{B^{2} }{2 \mu_{0} } Al = \frac{(4 \pi \cdot 10^{-1} )^{2} }{8 \pi \cdot 10^{-7} } \cdot \frac{ \pi}{4} \cdot 10^{-4} \cdot 1 = \frac{ \pi^{2} }{2} \cdot 10 \approx 50 Дж$.
