Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 11069
2019-10-28 
Точечный заряд $q$ (измеряемый в кулонах) расположен на расстоянии $d$ от неограниченной проводящей заземленной пластины. Восстановите нормаль от поверхности пластины к точке расположения заряда. Найдите плотность зарядов, индуцированных на поверхности пластины, как функцию расстояния $r$ от этой нормали.
Решение:
Если поместить заряд противоположного знака $-q$ на оси $z$ на расстоянии $d$ за пластиной, как показано на рисунке, и убрать пластину, то потенциал обоих зарядов во всех точках плоскости $z = 0$, в том числе и на бесконечности, будет равен нулю. Таким образом, потенциал новой системы удовлетворяет всем граничным условиям старой системы и в то же время является решением уравнения Лапласа. Поскольку при данных граничных условиях решение этого уравнения единственно, то очевидно, что поле справа от пластины эквивалентно полю упомянутых двух зарядов. Следовательно, в области $z \geq 0$ мы имеем
$V = \frac{q}{ 4 \pi \epsilon_{0} \sqrt{(z - d)^{2} + r^{2} } } + \frac{-q}{ 4 \pi \epsilon_{0} \sqrt{(z + d)^{2} + r^{2} } }$.
С помощью теоремы Гаусса можно получить выражение для поверхностной плотности заряда $\sigma$:
$\sigma = \epsilon_{0}E = - \epsilon_{0} \left . \frac{ \partial V}{ \partial z} \right |_{z = 0}$,
или
$\sigma = - \frac{qd}{2 \pi (d^{2} + r^{2} )^{1/2} }$.
Точечный заряд $q$ (измеряемый в кулонах) расположен на расстоянии $d$ от неограниченной проводящей заземленной пластины. Восстановите нормаль от поверхности пластины к точке расположения заряда. Найдите плотность зарядов, индуцированных на поверхности пластины, как функцию расстояния $r$ от этой нормали.
Решение:
Если поместить заряд противоположного знака $-q$ на оси $z$ на расстоянии $d$ за пластиной, как показано на рисунке, и убрать пластину, то потенциал обоих зарядов во всех точках плоскости $z = 0$, в том числе и на бесконечности, будет равен нулю. Таким образом, потенциал новой системы удовлетворяет всем граничным условиям старой системы и в то же время является решением уравнения Лапласа. Поскольку при данных граничных условиях решение этого уравнения единственно, то очевидно, что поле справа от пластины эквивалентно полю упомянутых двух зарядов. Следовательно, в области $z \geq 0$ мы имеем
$V = \frac{q}{ 4 \pi \epsilon_{0} \sqrt{(z - d)^{2} + r^{2} } } + \frac{-q}{ 4 \pi \epsilon_{0} \sqrt{(z + d)^{2} + r^{2} } }$.
С помощью теоремы Гаусса можно получить выражение для поверхностной плотности заряда $\sigma$:
$\sigma = \epsilon_{0}E = - \epsilon_{0} \left . \frac{ \partial V}{ \partial z} \right |_{z = 0}$,
или
$\sigma = - \frac{qd}{2 \pi (d^{2} + r^{2} )^{1/2} }$.
