Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 11068
2019-10-28 
Прямоугольная замкнутая проволочная рамка имеет высоту $H$ и ширину $W$. В момент времени $t = 0$ она начинает свободно падать. В начальный момент времени нижняя сторона рамки находится на высоте $h$ над плоскостью $y = 0$. Выше этой плоскости магнитное (и электрическое) поле отсутствует, а ниже ее имеется однородное магнитное поле $B$, перпендикулярное плоскости рисунка и направленное на читателя. Масса рамки $m$, сопротивление $R$. Определите движение рамки во времени. Найдите скорость рамки $v$ и постройте ее зависимость от времени $t$. Особый интерес представляет движение в промежутках времени от $t = 0$ до $t_{1}$, от $t_{1}$ до $t_{2}$ и при $t > t_{2}$. Как изменится движение рамки, если увеличить пропорционально размеры $H$ и $W$, оставляя неизменной толщину провода, из которой сделана рамка?
Решение:
а) В течение времени $0 \leq t \leq t_{1}$ скорость рамки совпадает со скоростью свободно падающего тела, т. е. $v = gt$. К моменту времени $t = t_{1}$ ее скорость достигает значения
$v_{1} = gt_{1} = \sqrt{2gh}$.
б) В интервале времени $t_{1} \leq t \leq t_{2}$ наводимая в рамке
$Э.д.c. = - \frac{d \Phi}{dt} = - B \frac{dA}{dt} = - BWv$,
где $A$ - площадь рамки в области $y < 0$. Через рамку протекает ток
$I = - \frac{BW}{R} v$ (направлен по часовой стрелке).
Сила, действующая на рамку со стороны магнитного поля,
$F = BWI = - \frac{B^{2}W^{2} }{R}v$ (направлена вверх).
Уравнение движения рамки записывается в виде
$m \dot{v} = mg - \frac{B^{2}W^{2} }{R}v$.
Отсюда находим
$v = \frac{mgR}{B^{2}W^{2} } + \left ( gt_{1} - \frac{mgR}{B^{2}W^{2} } \right ) e^{ - \frac{B^{2}W^{2} }{mR} (t - t_{1} ) }$. (1)
в) При $t \geq t_{2}$ на рамку действует только сила тяжести. Следовательно, ее скорость равна
$v = \frac{mgR}{B^{2}W^{2} } + \left ( gt_{1} - \frac{mgR}{B^{2}W^{2} } \right ) e^{- \frac{B^{2}W^{2} }{mR} (t_{1} - t_{1} ) } + g(t -t_{2} )$.
г) При увеличении размеров рамки в $N$ раз на ее изготовление уйдет в $N$ раз больше провода. Она будет иметь ширину $W^{ \prime} = NW$, массу $m^{ \prime} = Nm$ и сопротивление $R^{ \prime} = NR$.
Из п. «а» следует
$v^{ \prime} = v$ в интервале времени $0 \leq t \leq t_{1}$.
Подстановка $R^{ \prime}, W^{ \prime}$ и $m^{ \prime}$ вместо $R, W$ и $m$ оставляет прежним вид уравнения (1). Следовательно, в интервале времени $t_{1} < t < t_{2}$
$v^{ \prime} = \frac{mgR}{B^{2}W^{2} } + \left ( gt_{1} - \frac{mgR}{B^{2}W^{2} } \right ) e^{ - \frac{B^{2}W^{2} }{mR} (t - t_{1} ) } = v$.
Таким образом, пропорциональное увеличение размеров рамки не изменяет ее движения.
Прямоугольная замкнутая проволочная рамка имеет высоту $H$ и ширину $W$. В момент времени $t = 0$ она начинает свободно падать. В начальный момент времени нижняя сторона рамки находится на высоте $h$ над плоскостью $y = 0$. Выше этой плоскости магнитное (и электрическое) поле отсутствует, а ниже ее имеется однородное магнитное поле $B$, перпендикулярное плоскости рисунка и направленное на читателя. Масса рамки $m$, сопротивление $R$. Определите движение рамки во времени. Найдите скорость рамки $v$ и постройте ее зависимость от времени $t$. Особый интерес представляет движение в промежутках времени от $t = 0$ до $t_{1}$, от $t_{1}$ до $t_{2}$ и при $t > t_{2}$. Как изменится движение рамки, если увеличить пропорционально размеры $H$ и $W$, оставляя неизменной толщину провода, из которой сделана рамка?
Решение:
а) В течение времени $0 \leq t \leq t_{1}$ скорость рамки совпадает со скоростью свободно падающего тела, т. е. $v = gt$. К моменту времени $t = t_{1}$ ее скорость достигает значения
$v_{1} = gt_{1} = \sqrt{2gh}$.
б) В интервале времени $t_{1} \leq t \leq t_{2}$ наводимая в рамке
$Э.д.c. = - \frac{d \Phi}{dt} = - B \frac{dA}{dt} = - BWv$,
где $A$ - площадь рамки в области $y < 0$. Через рамку протекает ток
$I = - \frac{BW}{R} v$ (направлен по часовой стрелке).
Сила, действующая на рамку со стороны магнитного поля,
$F = BWI = - \frac{B^{2}W^{2} }{R}v$ (направлена вверх).
Уравнение движения рамки записывается в виде
$m \dot{v} = mg - \frac{B^{2}W^{2} }{R}v$.
Отсюда находим
$v = \frac{mgR}{B^{2}W^{2} } + \left ( gt_{1} - \frac{mgR}{B^{2}W^{2} } \right ) e^{ - \frac{B^{2}W^{2} }{mR} (t - t_{1} ) }$. (1)
в) При $t \geq t_{2}$ на рамку действует только сила тяжести. Следовательно, ее скорость равна
$v = \frac{mgR}{B^{2}W^{2} } + \left ( gt_{1} - \frac{mgR}{B^{2}W^{2} } \right ) e^{- \frac{B^{2}W^{2} }{mR} (t_{1} - t_{1} ) } + g(t -t_{2} )$.
г) При увеличении размеров рамки в $N$ раз на ее изготовление уйдет в $N$ раз больше провода. Она будет иметь ширину $W^{ \prime} = NW$, массу $m^{ \prime} = Nm$ и сопротивление $R^{ \prime} = NR$.
Из п. «а» следует
$v^{ \prime} = v$ в интервале времени $0 \leq t \leq t_{1}$.
Подстановка $R^{ \prime}, W^{ \prime}$ и $m^{ \prime}$ вместо $R, W$ и $m$ оставляет прежним вид уравнения (1). Следовательно, в интервале времени $t_{1} < t < t_{2}$
$v^{ \prime} = \frac{mgR}{B^{2}W^{2} } + \left ( gt_{1} - \frac{mgR}{B^{2}W^{2} } \right ) e^{ - \frac{B^{2}W^{2} }{mR} (t - t_{1} ) } = v$.
Таким образом, пропорциональное увеличение размеров рамки не изменяет ее движения.
