Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 11067
2019-10-28 
Эффективная проводимость среды, содержащей $N$ электронов в одном кубическом метре, определяется формулой $\sigma = - \frac{iNe^{2}}{ \omega m}$, где $e$ и $m$ - заряд и масса электрона. Пользуясь уравнениями Максвелла, получите выражение для скорости распространения электромагнитных волн в этой среде, а из него - показатель преломления среды. Объясните, как эта задача связана с отражением радиоволн от ионосферы.
Решение:
В случае среды, заполненной электронами, уравнения Максвелла для гармонических полей можно записать в виде
$\nabla \times \vec{E} = i \frac{ \omega }{c} \vec{B}, \nabla \cdot \vec{B} = 0$,
$\nabla \times \vec{B} = - i \mu \epsilon \frac{ \omega}{c} \vec{E} + \frac{4 \pi \sigma \mu}{c} \vec{E}$, (1)
$\nabla \cdot \vec{E} = 0$.
Исключая либо $\vec{B}$, либо $\vec{E}$ в первом или третьем уравнениях системы (1), приходим к волновому уравнению
$\left ( \nabla^{2} + \mu \epsilon \frac{ \omega^{2} }{c^{2} } + \frac{i 4 \pi \sigma \mu \omega}{c^{2} } \right ) \left ( \begin{matrix} \vec{E} \\ \vec{B} \end{matrix} \right ) = 0$, (2)
из которого следует соотношение
$- k^{2} + \mu \epsilon \frac{ \omega^{2} }{c^{2} } - \frac{4 \pi \mu Ne^{2} }{mc^{2} } = 0$; (3)
здесь мы предположили, что $\vec{E}$ и $\vec{B}$ изменяются как $e^{- i \omega t + ikz}$. В случае $\mu = 1$ и $\epsilon = 1$ это соотношение принимает вид )
$k^{2} = \frac{ \omega^{2} }{c^{2} } \left ( 1 - \frac{ \omega_{p}^{2} }{ \omega^{2} } \right )$, (4)
где
$\omega_{p}^{2} = \frac{4 \pi Ne^{2} }{m}$.
Частота $\omega_{p}$ называется плазменной частотой. Показатель преломления среды по определению равен
$n = \frac{ck}{ \omega}$. (5)
Из выражений (4) и (5) получаем
$n = \sqrt{1 - \frac{ \omega_{p}^{2} }{ \omega^{2} } }$.
При высоких частотах падающей волны, когда $\omega > \omega_{p}$, показатель преломления $n$ является действительным, и волна свободно проходит через плазму. При частотах ниже плазменной, когда $\omega < \omega_{p}$, показатель преломления $n$ становится чисто мнимым. От ионосферы такие волны отражаются.
Эффективная проводимость среды, содержащей $N$ электронов в одном кубическом метре, определяется формулой $\sigma = - \frac{iNe^{2}}{ \omega m}$, где $e$ и $m$ - заряд и масса электрона. Пользуясь уравнениями Максвелла, получите выражение для скорости распространения электромагнитных волн в этой среде, а из него - показатель преломления среды. Объясните, как эта задача связана с отражением радиоволн от ионосферы.
Решение:
В случае среды, заполненной электронами, уравнения Максвелла для гармонических полей можно записать в виде
$\nabla \times \vec{E} = i \frac{ \omega }{c} \vec{B}, \nabla \cdot \vec{B} = 0$,
$\nabla \times \vec{B} = - i \mu \epsilon \frac{ \omega}{c} \vec{E} + \frac{4 \pi \sigma \mu}{c} \vec{E}$, (1)
$\nabla \cdot \vec{E} = 0$.
Исключая либо $\vec{B}$, либо $\vec{E}$ в первом или третьем уравнениях системы (1), приходим к волновому уравнению
$\left ( \nabla^{2} + \mu \epsilon \frac{ \omega^{2} }{c^{2} } + \frac{i 4 \pi \sigma \mu \omega}{c^{2} } \right ) \left ( \begin{matrix} \vec{E} \\ \vec{B} \end{matrix} \right ) = 0$, (2)
из которого следует соотношение
$- k^{2} + \mu \epsilon \frac{ \omega^{2} }{c^{2} } - \frac{4 \pi \mu Ne^{2} }{mc^{2} } = 0$; (3)
здесь мы предположили, что $\vec{E}$ и $\vec{B}$ изменяются как $e^{- i \omega t + ikz}$. В случае $\mu = 1$ и $\epsilon = 1$ это соотношение принимает вид )
$k^{2} = \frac{ \omega^{2} }{c^{2} } \left ( 1 - \frac{ \omega_{p}^{2} }{ \omega^{2} } \right )$, (4)
где
$\omega_{p}^{2} = \frac{4 \pi Ne^{2} }{m}$.
Частота $\omega_{p}$ называется плазменной частотой. Показатель преломления среды по определению равен
$n = \frac{ck}{ \omega}$. (5)
Из выражений (4) и (5) получаем
$n = \sqrt{1 - \frac{ \omega_{p}^{2} }{ \omega^{2} } }$.
При высоких частотах падающей волны, когда $\omega > \omega_{p}$, показатель преломления $n$ является действительным, и волна свободно проходит через плазму. При частотах ниже плазменной, когда $\omega < \omega_{p}$, показатель преломления $n$ становится чисто мнимым. От ионосферы такие волны отражаются.
