Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 11063
2019-10-28 
а) «Черный ящик» содержит источники неизвестного напряжения и резисторы с неизвестными сопротивлениями. Схема соединения их не дана. Известно лишь, что если подключить к выходным клеммам черного ящика резистор с сопротивлением $R = 10 Ом$, то через него будет протекать ток силой 1 А, а при подключении резистора с сопротивлением $R = 18 Ом$ ток составит 0,6 А. Определите, какое сопротивление должен иметь подключенный резистор, чтобы ток стал равным 0,1 А.
б) Предложите простой фильтр, способный сильно ослабить пульсации напряжения частотой 60 Гц на выходе электрической цепи, приведенной на рисунке.
Решение:
а) Сначала докажем общую теорию о том, что любой такой «черный ящик» эквивалентен одному источнику э. д. с. с последовательно включенным резистором. Приведенная на рисунке схема показывает, как можно в самом общем виде соединить различные источники э. д. с. и резисторы внутри черного ящика. Пусть $i_{i}$ - ток в $i$-й ветви электрической цепи. Для каждого замкнутого контура этой цепи можно составить следующее уравнение:
$\mathcal{E}_{i} = \sum_{j = 1}^{N} a_{ij}i_{j} + b_{i}RI, i = 1, 2, \cdots, N$, (1)
где $a_{ij}$ и $b_{i}$ - коэффициенты, зависящие от сопротивлений резисторов. Систему (1) следует дополнить уравнением сохранения полного тока
$\sum_{j = 1}^{N} i_{j} = I$. (2)
Решая систему уравнений (1), находим токи $i_{j}$:
$i_{j} = \sum_{i=1}^{N} ( \mathcal{E}_{i} - b_{i}RI ) A_{ij}, j = 1, \cdots , N$; (3)
здесь $( A_{ij})$ - обратная матрица по отношению к $(a_{ij})$. Подставляя выражение (3) в (2), имеем
$\sum_{j,i}^{N} ( \mathcal{E}_{i} - b_{i}RI ) A_{ij} = I$,
или
$\sum_{j,i} \mathcal{E}_{i} A_{ij} = I \left ( 1 + R \sum_{j,i}^{N} b_{i}A_{ij} \right )$. (4)
Введем теперь обозначения
$\mathcal{E} = \frac{ \sum_{j,i} \mathcal{E}_{i}A_{ij} }{ \sum_{j,i}^{N} b_{i}A_{ij} } $ и $r = \frac{1}{ \sum_{j,i}^{N} b_{i}A_{ij} } $.
Тогда выражение (4) принимает вид
$\mathcal{E} = I(R + r)$, (5)
где $\mathcal{E}$ - э. д. с. эквивалентного источника, $r$ - сопротивление эквивалентного резистора.
Подставляя данные из условия задачи, получаем $\mathcal{E} = 12 В$ и $r = 2 Ом$. Следовательно, чтобы в цепи протекал ток силой 0,1 А, нужно подключить резистор с сопротивлением $R = 118 0м$.
б) Чтобы снизить пульсации напряжения частотой 60 Гц, фильтр, показанный на рисунке, должен иметь при этой частоте очень низкое сопротивление. Следовательно,
$LC = \frac{1 }{ \omega^{2} } = \left ( \frac{1}{120 \pi} \right )^{2} \approx 7 \cdot 10^{-6}$.
а) «Черный ящик» содержит источники неизвестного напряжения и резисторы с неизвестными сопротивлениями. Схема соединения их не дана. Известно лишь, что если подключить к выходным клеммам черного ящика резистор с сопротивлением $R = 10 Ом$, то через него будет протекать ток силой 1 А, а при подключении резистора с сопротивлением $R = 18 Ом$ ток составит 0,6 А. Определите, какое сопротивление должен иметь подключенный резистор, чтобы ток стал равным 0,1 А.
б) Предложите простой фильтр, способный сильно ослабить пульсации напряжения частотой 60 Гц на выходе электрической цепи, приведенной на рисунке.
Решение:
а) Сначала докажем общую теорию о том, что любой такой «черный ящик» эквивалентен одному источнику э. д. с. с последовательно включенным резистором. Приведенная на рисунке схема показывает, как можно в самом общем виде соединить различные источники э. д. с. и резисторы внутри черного ящика. Пусть $i_{i}$ - ток в $i$-й ветви электрической цепи. Для каждого замкнутого контура этой цепи можно составить следующее уравнение:
$\mathcal{E}_{i} = \sum_{j = 1}^{N} a_{ij}i_{j} + b_{i}RI, i = 1, 2, \cdots, N$, (1)
где $a_{ij}$ и $b_{i}$ - коэффициенты, зависящие от сопротивлений резисторов. Систему (1) следует дополнить уравнением сохранения полного тока
$\sum_{j = 1}^{N} i_{j} = I$. (2)
Решая систему уравнений (1), находим токи $i_{j}$:
$i_{j} = \sum_{i=1}^{N} ( \mathcal{E}_{i} - b_{i}RI ) A_{ij}, j = 1, \cdots , N$; (3)
здесь $( A_{ij})$ - обратная матрица по отношению к $(a_{ij})$. Подставляя выражение (3) в (2), имеем
$\sum_{j,i}^{N} ( \mathcal{E}_{i} - b_{i}RI ) A_{ij} = I$,
или
$\sum_{j,i} \mathcal{E}_{i} A_{ij} = I \left ( 1 + R \sum_{j,i}^{N} b_{i}A_{ij} \right )$. (4)
Введем теперь обозначения
$\mathcal{E} = \frac{ \sum_{j,i} \mathcal{E}_{i}A_{ij} }{ \sum_{j,i}^{N} b_{i}A_{ij} } $ и $r = \frac{1}{ \sum_{j,i}^{N} b_{i}A_{ij} } $.
Тогда выражение (4) принимает вид
$\mathcal{E} = I(R + r)$, (5)
где $\mathcal{E}$ - э. д. с. эквивалентного источника, $r$ - сопротивление эквивалентного резистора.
Подставляя данные из условия задачи, получаем $\mathcal{E} = 12 В$ и $r = 2 Ом$. Следовательно, чтобы в цепи протекал ток силой 0,1 А, нужно подключить резистор с сопротивлением $R = 118 0м$.
б) Чтобы снизить пульсации напряжения частотой 60 Гц, фильтр, показанный на рисунке, должен иметь при этой частоте очень низкое сопротивление. Следовательно,
$LC = \frac{1 }{ \omega^{2} } = \left ( \frac{1}{120 \pi} \right )^{2} \approx 7 \cdot 10^{-6}$.
