Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 11061
2019-10-28 
Плоская электромагнитная волна частотой $\omega$ падает нормально на поверхность немагнитного металла, имеющего проводимость $\sigma$.
а) Напишите дифференциальное уравнение в частных производных для магнитного поля внутри металла. Частоту о считайте достаточно низкой, так что токами смещения внутри металла можно пренебречь.
б) Задайте граничные условия для тангенциальных компонент $E^{t}$ и $H^{l}$ электрического и магнитного полей на поверхности.
в) Пользуясь формулой $\vec{E}^{t} = Z \vec{H}^{t} \times \hat{n}$, где $\hat{n}$ - единичный вектор нормали к поверхности, найдите выражение для поверхностного импеданса $Z( \sigma, \omega)$.
Решение:
а) Уравнения Максвелла с учетом закона Ома $\vec{J} = \sigma \vec{E}$ и в пренебрежении токами смещения (Пренебрежение токами смещения соответствует переходу к квазиета-ционарному приближению, в котором не учитывается запаздывание, а, значит, не могут быть описаны и электромагнитные волны. Таким образом, в этой задаче поле внутри проводника, описываемое получаемым ниже уравнением (2), не является волновым.) записываются в виде
$\nabla \times \vec{E} + \frac{ \mu}{c} \frac{ \partial \vec{H}}{ \partial t} = 0$, (1)
$\nabla \times \vec{H} - \frac{4 \pi \sigma}{c} \vec{E} = 0$.
В случае гармонических колебаний с частотой $\omega$ во втором уравнении можно исключить поле $\vec{E}$ и получить следующее волновое уравнение:
$\nabla \times \nabla \times \vec{H} + \frac{4 \pi \sigma \mu \omega}{c^{2} } i \vec{H} = 0$ (2)
в предположении, что
$\vec{H} = \vec{H}_{0}e^{i ( \omega t - \vec{k} \vec{r}) }$.
При нормальном падении плоской волны вектор $\vec{H}$ параллелен границе раздела. Следовательно,
$\nabla \approx - \vec{n} \frac{ \partial }{ \partial z}$,
а поскольку
$\nabla \times \nabla \times \vec{H} = \nabla ( \nabla \cdot \vec{H} ) - \nabla^{2} \vec{H} = - \nabla^{2} \vec{H} = - \frac{ \partial^{2} }{ \partial z^{2} } \vec{H}$,
то уравнение (2) принимает вид
$\frac{ \partial^{2} }{ \partial z^{2} } ( \vec{n} \times \vec{H}) - \frac{4 \pi \sigma \mu \omega}{c^{2} } i( \vec{n} \times \vec{H}) = 0$. (3)
где $\vec{n} \times \vec{H} = \vec{H}^{t}$. Это и есть искомое уравнение в частных производных.
б) Поскольку разность потенциалов электрического поля между двумя точками не зависит от пути, соединяющего эти точки, должно выполняться условие $\vec{E}^{t} = \vec{E}_{c}^{t}$, т. е. тангенциальная компонента электрического поля должна быть непрерывной. Если металл обладает высокой проводимостью, то заряды в его поверхностном слое движутся в такт с изменением электрического поля падающей плоской волны и $\vec{H}_{c}^{t}$ в глубине металла отсутствует. Мы имеем
$\vec{H}^{t} = \frac{4 \pi}{c} \vec{K}$ и $\vec{H}_{c}^{t} = 0$, (4)
где $\vec{K}$ - поверхностный ток, протекающий примерно в толще скин-слоя; $\vec{K} = \sigma \vec{E}^{t}$. При $z \rightarrow 0$ из (4) имеем $\vec{H}^{t} = \vec{H}^{t}$.
в) Используя уравнение (3), можно найти
$\vec{H}_{c}^{t} = \vec{H}^{t} e^{ - \frac{1 + i}{ \delta} \vec{z} }$. (5)
Входящая в это выражение величина $\delta$ называется толщиной скин-слоя:
$\delta = \frac{c}{ \sqrt{2 \pi \mu \omega \sigma } }$.
Подставляя (5) во второе уравнение Максвелла (1), получаем
$\vec{E}^{t} = - \sqrt{ \frac{ \mu \omega}{8 \pi \sigma}} (1 + i)( \vec{n} \times \vec{H}^{t})|_{z = 0}$.
Таким образом, находим поверхностный импеданс
$Z = \sqrt{ \frac{ \mu \omega}{8 \pi \sigma} } (1 + i)$.
Плоская электромагнитная волна частотой $\omega$ падает нормально на поверхность немагнитного металла, имеющего проводимость $\sigma$.
а) Напишите дифференциальное уравнение в частных производных для магнитного поля внутри металла. Частоту о считайте достаточно низкой, так что токами смещения внутри металла можно пренебречь.
б) Задайте граничные условия для тангенциальных компонент $E^{t}$ и $H^{l}$ электрического и магнитного полей на поверхности.
в) Пользуясь формулой $\vec{E}^{t} = Z \vec{H}^{t} \times \hat{n}$, где $\hat{n}$ - единичный вектор нормали к поверхности, найдите выражение для поверхностного импеданса $Z( \sigma, \omega)$.
Решение:
а) Уравнения Максвелла с учетом закона Ома $\vec{J} = \sigma \vec{E}$ и в пренебрежении токами смещения (Пренебрежение токами смещения соответствует переходу к квазиета-ционарному приближению, в котором не учитывается запаздывание, а, значит, не могут быть описаны и электромагнитные волны. Таким образом, в этой задаче поле внутри проводника, описываемое получаемым ниже уравнением (2), не является волновым.) записываются в виде
$\nabla \times \vec{E} + \frac{ \mu}{c} \frac{ \partial \vec{H}}{ \partial t} = 0$, (1)
$\nabla \times \vec{H} - \frac{4 \pi \sigma}{c} \vec{E} = 0$.
В случае гармонических колебаний с частотой $\omega$ во втором уравнении можно исключить поле $\vec{E}$ и получить следующее волновое уравнение:
$\nabla \times \nabla \times \vec{H} + \frac{4 \pi \sigma \mu \omega}{c^{2} } i \vec{H} = 0$ (2)
в предположении, что
$\vec{H} = \vec{H}_{0}e^{i ( \omega t - \vec{k} \vec{r}) }$.
При нормальном падении плоской волны вектор $\vec{H}$ параллелен границе раздела. Следовательно,
$\nabla \approx - \vec{n} \frac{ \partial }{ \partial z}$,
а поскольку
$\nabla \times \nabla \times \vec{H} = \nabla ( \nabla \cdot \vec{H} ) - \nabla^{2} \vec{H} = - \nabla^{2} \vec{H} = - \frac{ \partial^{2} }{ \partial z^{2} } \vec{H}$,
то уравнение (2) принимает вид
$\frac{ \partial^{2} }{ \partial z^{2} } ( \vec{n} \times \vec{H}) - \frac{4 \pi \sigma \mu \omega}{c^{2} } i( \vec{n} \times \vec{H}) = 0$. (3)
где $\vec{n} \times \vec{H} = \vec{H}^{t}$. Это и есть искомое уравнение в частных производных.
б) Поскольку разность потенциалов электрического поля между двумя точками не зависит от пути, соединяющего эти точки, должно выполняться условие $\vec{E}^{t} = \vec{E}_{c}^{t}$, т. е. тангенциальная компонента электрического поля должна быть непрерывной. Если металл обладает высокой проводимостью, то заряды в его поверхностном слое движутся в такт с изменением электрического поля падающей плоской волны и $\vec{H}_{c}^{t}$ в глубине металла отсутствует. Мы имеем
$\vec{H}^{t} = \frac{4 \pi}{c} \vec{K}$ и $\vec{H}_{c}^{t} = 0$, (4)
где $\vec{K}$ - поверхностный ток, протекающий примерно в толще скин-слоя; $\vec{K} = \sigma \vec{E}^{t}$. При $z \rightarrow 0$ из (4) имеем $\vec{H}^{t} = \vec{H}^{t}$.
в) Используя уравнение (3), можно найти
$\vec{H}_{c}^{t} = \vec{H}^{t} e^{ - \frac{1 + i}{ \delta} \vec{z} }$. (5)
Входящая в это выражение величина $\delta$ называется толщиной скин-слоя:
$\delta = \frac{c}{ \sqrt{2 \pi \mu \omega \sigma } }$.
Подставляя (5) во второе уравнение Максвелла (1), получаем
$\vec{E}^{t} = - \sqrt{ \frac{ \mu \omega}{8 \pi \sigma}} (1 + i)( \vec{n} \times \vec{H}^{t})|_{z = 0}$.
Таким образом, находим поверхностный импеданс
$Z = \sqrt{ \frac{ \mu \omega}{8 \pi \sigma} } (1 + i)$.
