Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 11060
2019-10-28 
Определите самую низкочастотную моду электромагнитных колебаний в прямоугольном объемном резонаторе со сторонами $a > b > d$ и идеально проводящими стенками. Найдите соответствующую ей резонансную частоту и опишите зависимость поля от пространственных координат.
Решение:
Волновое уравнение в случае прямоугольного резонатора имеет вид
$\left ( \frac{ \partial^{2} }{ \partial x^{2} } + \frac{ \partial^{2} }{ \partial y^{2} } + \gamma^{2} \right ) \psi = 0$. (1)
где
$\gamma^{2} = \mu_{0} \epsilon_{0} \frac{ \omega^{2} }{c^{2} } - k^{2}$,
а вместо $\psi$ может стоять любой из векторов $\vec{E}$ или $\vec{B}$ электромагнитного поля. Граничные условия для полей записываются следующим образом:
$\frac{ \partial \psi}{ \partial n} = 0$ при $x = 0, a$ и $y = 0, b$.
Общее решение уравнения (1) имеет вид
$\psi_{mn} (x,y) = B_{0} \cos \frac{m \pi x}{a} \cos \frac{n \pi y}{b}$, (2)
где $n, m = 1, 2, 3, \cdots$. Подставляя это решение в (1), находим
$\gamma_{mn}^{2} = \pi^{2} \left ( \frac{m^{2} }{a^{2} } + \frac{n^{2} }{b^{2} } \right )$. (3)
Зависимость полей от координаты $z$ соответствует стоячим волнам:
$\psi_{k} (z) = A \sin kz + C \cos kz$.
Для выполнения граничных условий при $z = 0$ и $z = d$ множитель $k$ должен удовлетворять соотношению
$k = \frac{l \pi}{d}, l = 0,1,2, \cdots$. (4)
Собственные частоты резонатора определяем из формулы для у после подстановки в нее выражений (4) и (3):
$\omega_{mnl} = \frac{ \pi c}{ \sqrt{ \mu_{0} \epsilon_{0} } } \sqrt{ \frac{m^{2} }{a^{2} } + \frac{n^{2} }{b^{2} } + \frac{l^{2} }{d^{2} } }$.
В случае $a > b > d$ самая низкая частота колебаний соответствует значениям $m = 1, n = 0$ и $l = 0$, т. е.
$\omega_{100} = \frac{ \pi c}{ a \sqrt{ \mu_{0} \epsilon_{0} } }$.
Этой частоте соответствует поле
$\psi_{100} = \psi_{10}(x,y) \psi_{0}(z) \sim \cos \frac{ \pi x}{a}$.
Определите самую низкочастотную моду электромагнитных колебаний в прямоугольном объемном резонаторе со сторонами $a > b > d$ и идеально проводящими стенками. Найдите соответствующую ей резонансную частоту и опишите зависимость поля от пространственных координат.
Решение:
Волновое уравнение в случае прямоугольного резонатора имеет вид
$\left ( \frac{ \partial^{2} }{ \partial x^{2} } + \frac{ \partial^{2} }{ \partial y^{2} } + \gamma^{2} \right ) \psi = 0$. (1)
где
$\gamma^{2} = \mu_{0} \epsilon_{0} \frac{ \omega^{2} }{c^{2} } - k^{2}$,
а вместо $\psi$ может стоять любой из векторов $\vec{E}$ или $\vec{B}$ электромагнитного поля. Граничные условия для полей записываются следующим образом:
$\frac{ \partial \psi}{ \partial n} = 0$ при $x = 0, a$ и $y = 0, b$.
Общее решение уравнения (1) имеет вид
$\psi_{mn} (x,y) = B_{0} \cos \frac{m \pi x}{a} \cos \frac{n \pi y}{b}$, (2)
где $n, m = 1, 2, 3, \cdots$. Подставляя это решение в (1), находим
$\gamma_{mn}^{2} = \pi^{2} \left ( \frac{m^{2} }{a^{2} } + \frac{n^{2} }{b^{2} } \right )$. (3)
Зависимость полей от координаты $z$ соответствует стоячим волнам:
$\psi_{k} (z) = A \sin kz + C \cos kz$.
Для выполнения граничных условий при $z = 0$ и $z = d$ множитель $k$ должен удовлетворять соотношению
$k = \frac{l \pi}{d}, l = 0,1,2, \cdots$. (4)
Собственные частоты резонатора определяем из формулы для у после подстановки в нее выражений (4) и (3):
$\omega_{mnl} = \frac{ \pi c}{ \sqrt{ \mu_{0} \epsilon_{0} } } \sqrt{ \frac{m^{2} }{a^{2} } + \frac{n^{2} }{b^{2} } + \frac{l^{2} }{d^{2} } }$.
В случае $a > b > d$ самая низкая частота колебаний соответствует значениям $m = 1, n = 0$ и $l = 0$, т. е.
$\omega_{100} = \frac{ \pi c}{ a \sqrt{ \mu_{0} \epsilon_{0} } }$.
Этой частоте соответствует поле
$\psi_{100} = \psi_{10}(x,y) \psi_{0}(z) \sim \cos \frac{ \pi x}{a}$.
