Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 11057
2019-10-28 
Система, показанная на рисунке, состоит из двух плоских проводящих пластин длиной $l$, шириной $b$ (в направлении, перпендикулярном рисунку) и зазором $a$ между ними ($a \ll b,l$). Справа пластины закорочены, а слева к ним мгновенно подключают источник напряжения $V_{0}$. Будем предполагать, что ток в пластинах протекает только по направлению $l$. Всеми сопротивлениями и всеми эффектами, связанными с конечной скоростью распространения электромагнитных полей, можно пренебречь.
а) Определите зависимость магнитного поля $B$ в зазоре между пластинами от тока $I$, протекающего в цепи.
б) Чему равна индуктивность цепи?
в) Найдите зависимость тока в цепи от времени.
г) Чему равно напряжение на пластинах на расстоянии $x$ от закороченного конца?
д) Каков поток энергии в системе на расстоянии $x$ от закороченного конца?
Решение:
а) Снаружи магнитное поле равно нулю, а в зазоре между пластинами оно отлично от нуля и является приблизительно однородным. Из формулы
$\oint \vec{B} \cdot d \vec{s} = \mu_{0}I$,
где вектор $d \vec{s}$ перпендикулярен плоскости рисунка, получаем
$Bb \approx \mu_{0}I$, или $B \approx \frac{ \mu_{0}I }{b}$
(вектор $\vec{B}$ направлен от читателя к плоскости рисунка). Здесь мы учли, что $a \ll b$ и тем самым пренебрегли членами, зависящими от $a/b$.
б) Индуктивность цепи определяем по формуле
$L = \left | \frac{ \frac{d \Phi}{dt} }{ \frac{dI}{dt} } \right | = \left | \frac{d \Phi}{dI} \right | = \frac{d}{dI} (BA) = \frac{d}{dI} \left ( \frac{ \mu_{0}I }{b} la \right ) = \frac{ \mu_{0}la }{b}$.
в) Уравнение данной электрической цепи записывается в виде
$V_{0} - L \frac{di}{dt} = 0$,
откуда находим
$i = \frac{V_{0} }{L} t$.
г) Индуктивность обеих пластин на расстоянии $x$ от закороченного конца равна
$L_{1} = \frac{ \mu_{0}xa }{b}$
Следовательно,
$V_{x} = L_{1} \frac{di}{dt} = \frac{ \mu_{0} xa }{bL} V_{0}$.
д) На расстоянии $x$ от закороченного конца имеем
$Поток \: энергии = V_{x}i = \frac{ \mu_{0}xaV_{0} }{bL} \frac{V_{0} }{L} t = \frac{ \mu_{0}xa }{b} \left ( \frac{V_{0} }{L} \right )^{2} t$.
Система, показанная на рисунке, состоит из двух плоских проводящих пластин длиной $l$, шириной $b$ (в направлении, перпендикулярном рисунку) и зазором $a$ между ними ($a \ll b,l$). Справа пластины закорочены, а слева к ним мгновенно подключают источник напряжения $V_{0}$. Будем предполагать, что ток в пластинах протекает только по направлению $l$. Всеми сопротивлениями и всеми эффектами, связанными с конечной скоростью распространения электромагнитных полей, можно пренебречь.
а) Определите зависимость магнитного поля $B$ в зазоре между пластинами от тока $I$, протекающего в цепи.
б) Чему равна индуктивность цепи?
в) Найдите зависимость тока в цепи от времени.
г) Чему равно напряжение на пластинах на расстоянии $x$ от закороченного конца?
д) Каков поток энергии в системе на расстоянии $x$ от закороченного конца?
Решение:
а) Снаружи магнитное поле равно нулю, а в зазоре между пластинами оно отлично от нуля и является приблизительно однородным. Из формулы
$\oint \vec{B} \cdot d \vec{s} = \mu_{0}I$,
где вектор $d \vec{s}$ перпендикулярен плоскости рисунка, получаем
$Bb \approx \mu_{0}I$, или $B \approx \frac{ \mu_{0}I }{b}$
(вектор $\vec{B}$ направлен от читателя к плоскости рисунка). Здесь мы учли, что $a \ll b$ и тем самым пренебрегли членами, зависящими от $a/b$.
б) Индуктивность цепи определяем по формуле
$L = \left | \frac{ \frac{d \Phi}{dt} }{ \frac{dI}{dt} } \right | = \left | \frac{d \Phi}{dI} \right | = \frac{d}{dI} (BA) = \frac{d}{dI} \left ( \frac{ \mu_{0}I }{b} la \right ) = \frac{ \mu_{0}la }{b}$.
в) Уравнение данной электрической цепи записывается в виде
$V_{0} - L \frac{di}{dt} = 0$,
откуда находим
$i = \frac{V_{0} }{L} t$.
г) Индуктивность обеих пластин на расстоянии $x$ от закороченного конца равна
$L_{1} = \frac{ \mu_{0}xa }{b}$
Следовательно,
$V_{x} = L_{1} \frac{di}{dt} = \frac{ \mu_{0} xa }{bL} V_{0}$.
д) На расстоянии $x$ от закороченного конца имеем
$Поток \: энергии = V_{x}i = \frac{ \mu_{0}xaV_{0} }{bL} \frac{V_{0} }{L} t = \frac{ \mu_{0}xa }{b} \left ( \frac{V_{0} }{L} \right )^{2} t$.
