Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 11053
2019-10-28 
Круговая петля радиусом $a$ расположена концентрически в плоскости другой, значительно большей петли радиусом $b(a \ll b)$. Большая петля закреплена неподвижно, и по ней протекает постоянный ток $I$, а меньшую петлю вращают вокруг диаметра с угловой частотой $\omega$ (ее электрическое сопротивление равно $R$, а индуктивность пренебрежимо мала).
а) Определите, как зависит ток в малой петле от времени.
б) Найдите, какой момент силы должен быть приложен к малой петле, чтобы привести ее во вращение с указанной частотой?
в) Определите э. д. с., индуцируемую в большой петле, как функцию времени.
Решение:
а) Магнитная индукция, создаваемая током большой петли, в центре системы равна
$B = \frac{ \mu_{0}I }{2b}$. (1)
Полный магнитный поток, пересекающий малую петлю, дается выражением
$\Phi = \vec{B} \cdot \vec{A} = \frac{ \pi a^{2} \mu_{0} I }{2b} \cos \theta$ ($a \ll b$), (2)
где $\vec{A}$ - ориентированная площадь малой петли, а $\theta$ - угол между осями петель. При вращении малой петли с постоянной угловой скоростью $\omega$ мы имеем $\theta = \omega t$. Э. д. с., наводимая в петле, равна $-d \Phi/dt$. Используя выражение (2), получаем для малой петли
$Э. д. с. = \frac{ \pi a^{2} \mu_{0} I }{2b} \omega \sin \omega t$. (3)
Ток в малой петле $I_{1}$ определяем по закону Ома:
$I_{1} = \frac{ \pi a^{2} \mu_{0}I }{2bR} \omega \sin \omega t$. (4)
б) В соответствии с законом сохранения энергии механическая мощность $\tau d \theta/dt$ должна быть равна мощности тока, наведенного в петле, т. е.
$\tau \frac{d \theta}{dt} = - I_{1} \frac{d \Phi}{dt}$.
Используя выражения (4) и (2), получаем
$\tau = - I_{1} \frac{d \Phi}{d \theta} = - \frac{ \pi a^{2} \mu_{0} I \omega }{2bR} \sin \omega t \frac{d \Phi}{d \theta} = \left ( \frac{ \pi a^{2} \mu_{0}I }{2b} \right )^{2} \frac{ \omega \sin^{2} \omega t }{R}$.
в) Из выражения (2) находим взаимную индуктивность двух петель
$M = \frac{d \Phi}{dt} = \frac{ \pi a^{2} \mu_{0} }{2b} \cos \theta = \frac{ \pi a^{2} \mu_{0} }{2b} \cos \omega t$.
Теперь можно определить э. д. с. взаимной индукции, наведенную в большой петле:
$\mathcal{E} = - M \frac{dI_{1} }{dt} = - M \frac{d}{dt} \left ( \frac{ \pi a^{2} \mu_{0} I \omega }{2bR} \sin \omega t \right ) = - \frac{ \pi^{2} I \omega^{2} a^{4} \mu_{0}^{2} }{4b^{2}R } \cos^{2} \omega t = - \left ( \frac{ \pi a^{2} \mu_{0} \omega \cos \omega t }{2b} \right )^{2} \frac{I}{R}$.
Круговая петля радиусом $a$ расположена концентрически в плоскости другой, значительно большей петли радиусом $b(a \ll b)$. Большая петля закреплена неподвижно, и по ней протекает постоянный ток $I$, а меньшую петлю вращают вокруг диаметра с угловой частотой $\omega$ (ее электрическое сопротивление равно $R$, а индуктивность пренебрежимо мала).
а) Определите, как зависит ток в малой петле от времени.
б) Найдите, какой момент силы должен быть приложен к малой петле, чтобы привести ее во вращение с указанной частотой?
в) Определите э. д. с., индуцируемую в большой петле, как функцию времени.
Решение:
а) Магнитная индукция, создаваемая током большой петли, в центре системы равна
$B = \frac{ \mu_{0}I }{2b}$. (1)
Полный магнитный поток, пересекающий малую петлю, дается выражением
$\Phi = \vec{B} \cdot \vec{A} = \frac{ \pi a^{2} \mu_{0} I }{2b} \cos \theta$ ($a \ll b$), (2)
где $\vec{A}$ - ориентированная площадь малой петли, а $\theta$ - угол между осями петель. При вращении малой петли с постоянной угловой скоростью $\omega$ мы имеем $\theta = \omega t$. Э. д. с., наводимая в петле, равна $-d \Phi/dt$. Используя выражение (2), получаем для малой петли
$Э. д. с. = \frac{ \pi a^{2} \mu_{0} I }{2b} \omega \sin \omega t$. (3)
Ток в малой петле $I_{1}$ определяем по закону Ома:
$I_{1} = \frac{ \pi a^{2} \mu_{0}I }{2bR} \omega \sin \omega t$. (4)
б) В соответствии с законом сохранения энергии механическая мощность $\tau d \theta/dt$ должна быть равна мощности тока, наведенного в петле, т. е.
$\tau \frac{d \theta}{dt} = - I_{1} \frac{d \Phi}{dt}$.
Используя выражения (4) и (2), получаем
$\tau = - I_{1} \frac{d \Phi}{d \theta} = - \frac{ \pi a^{2} \mu_{0} I \omega }{2bR} \sin \omega t \frac{d \Phi}{d \theta} = \left ( \frac{ \pi a^{2} \mu_{0}I }{2b} \right )^{2} \frac{ \omega \sin^{2} \omega t }{R}$.
в) Из выражения (2) находим взаимную индуктивность двух петель
$M = \frac{d \Phi}{dt} = \frac{ \pi a^{2} \mu_{0} }{2b} \cos \theta = \frac{ \pi a^{2} \mu_{0} }{2b} \cos \omega t$.
Теперь можно определить э. д. с. взаимной индукции, наведенную в большой петле:
$\mathcal{E} = - M \frac{dI_{1} }{dt} = - M \frac{d}{dt} \left ( \frac{ \pi a^{2} \mu_{0} I \omega }{2bR} \sin \omega t \right ) = - \frac{ \pi^{2} I \omega^{2} a^{4} \mu_{0}^{2} }{4b^{2}R } \cos^{2} \omega t = - \left ( \frac{ \pi a^{2} \mu_{0} \omega \cos \omega t }{2b} \right )^{2} \frac{I}{R}$.
