ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2019-10-28   
Какому распределению зарядов соответствует сферически симметричный потенциал $V(r)= \frac{e^{ - \lambda r }}{r}$?


Решение:


Полагая $r \neq 0$, запишем уравнение Пуассона в сферических координатах

$\nabla^{2} V \equiv \frac{1}{r} \frac{d^{2} }{dr^{2} } rV(r) + \Lambda V(r) = - 4 \pi \rho (r)$, (1)

где $\Lambda$ - дифференциальный оператор, зависящий только от углов. В случае сферически симметричного потенциала $\Lambda V(r) = 0$. Подставляя в уравнение (1) выражение для $V(r)$ из условия задачи, получаем при $r \neq 0$

$\rho(r) = - \frac{1}{4 \pi r} \frac{d^{2} }{dr^{2} } e^{- \lambda r} = - \frac{ \lambda^{2} e^{- \lambda r} }{4 \pi r}$.

Перейдем теперь к случаю $r \rightarrow 0$. Тогда

$V(r) = \frac{e^{ - \lambda r} }{r} \rightarrow \frac{1}{r}$.

Но,

$\nabla^{2} \frac{1}{r} = - 4 \pi \delta (r)$.

Следовательно, в общем случае имеем

$\rho(r) = \delta (r) - \frac{ \lambda^{2} e^{- \lambda r} }{4 \pi r}$.

При $r \rightarrow 0$ вклад в общий заряд дает только член $\delta (r)$, поскольку объем пропорционален $r^{3}$.