ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2019-10-28   
Согласно классической теории, электрон вращается по круговой орбите вокруг протона. Исходя из классической теории излучения, получите дифференциальное уравнение, описывающее изменение энергии электрона. Используя найденное уравнение, вычислите ориентировочно время «падения» слабо связанного (почти свободного) электрона на первую воровскую орбиту.


Решение:


Если электрон движется с ускорением, то он теряет свою энергию на излучение. Полная энергия электронно-протонной системы убывает со скоростью

$\frac{dE}{dt} = - \frac{2a^{2}e^{2} }{3c^{3} }$, (1)

где $a$ - ускорение, $e$ - заряд электрона, а $c$ - скорость света. Ускорение электрона $a$ связано с радиусом $r$ его орбиты следующим образом:

$ma = \frac{e^{2}}{r^{2}}$,

откуда

$a = \frac{e^{2} }{mr^{2} }$. (2)

Используя последнее выражение и учитывая, что $a = \frac{v^{2}}{r}$, находим полную энергию электронно-протонной системы

$E = \frac{1}{2} mv^{2} - \frac{e^{2} }{r} = - \frac{e^{2} }{2r}$. (3)

Подставляя выражение (3) и (2) в (1), получаем

$- \frac{e^{2}}{2r^{2} } \frac{dr}{dt} = \frac{2e^{6} }{3m^{2}r^{4}c^{3} }$, (4)

или после очевидного упрощения

$\frac{dr}{dt} = - \frac{4e^{4} }{3m^{2}r^{2}c^{3} }$. (5)

Интегрирование этого уравнения дает

$T = \int_{0}^{T} dt = - \frac{m^{2}c^{3} }{4e^{4} } \int_{R}^{a_{0} } 3r^{2} dr = \frac{m^{2}c^{3} }{4e^{4} } (R^{3} - a_{0}^{3} )$;

здесь $R$ - начальное расстояние между протоном и электроном, $a_{0}$ - радиус первой боровской орбиты.