Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 11046
2019-10-28 
Два электрических диполя, расположенные на оси $x$ и противоположно ориентированные вдоль оси $z$, осциллируют точно в противофазе. Их $x$-координаты отличаются на $\lambda /2$. Вычислите вектор Пойнтинга на больших расстояниях от этой системы.
Решение:
В случае дипольного излучения векторы электрического и магнитного полей в волновой зоне можно найти по формулам
$\vec{E} = k^{2} ( \vec{n} \times \vec{p} ) \times \vec{n} \frac{e^{ikr} }{r}$
и
$\vec{B} = k^{2} \vec{n} \times \vec{p} \frac{e^{ikr} }{r}$;
здесь $k = 2 \pi / \lambda$ - волновое число, $\vec{p}$ - дипольный момент, а $\vec{n}$ - единичный вектор в направлении переноса излучения, которое в нашем случае совпадает с направлением радиус-вектора к точке наблюдения. (Поля пропорциональны $1/r$, поскольку их интенсивности изменяются по закону обратных квадратов. Направление переноса излучения определяется векторным произведением $\vec{E} \times \vec{B} \parallel \vec{n}$. В написанных выше выражениях для дипольного излучения один множитель $k$ следует из разложения векторного потенциала, а другой - непосредственно из уравнения $\vec{B} = \nabla \times \vec{A} = i \vec{k} \times \vec{A}$.) Электрическое поле, создаваемое двумя диполями вместе, записывается в виде
$\vec{E}^{ \prime} = - \frac{ \lambda}{2} \frac{d \vec{E} }{dx} \approx - \frac{i \lambda k^{3} }{2} ( \vec{n} \times \vec{p} ) \times \vec{n} \frac{xe^{ikr} }{r^{2} }$,
а индукция магнитного поля
$\vec{B}^{ \prime} = - \frac{ \lambda}{2} \frac{d \vec{B} }{dx} \approx - \frac{ i \lambda k^{3} }{2} \vec{n} \times \vec{p} \frac{xe^{ikr} }{r^{2} }$;
при получении этих формул мы пренебрегли всеми членами, пропорциональными $1/r^{3}$. Искомый вектор Пойнтинга $\vec{S}$ на больших расстояниях от излучателей будет (Обычно в дипольном приближении вычисляют не суммы напряженностей полей диполей, а поле суммарного дипольного момента.)
$\vec{S} = \vec{c}{4 \pi} ( \vec{E}^{ \prime} \times \vec{B}^{ \prime *} ) \approx \frac{ \pi ck^{4}p^{2} }{4r^{2} } \cos^{2} \theta \sin^{2} \theta \cos^{2} \phi \vec{n}$;
здесь $\cos \theta = \frac{z}{r}$ и $tg \phi = \frac{y}{x}$.
Два электрических диполя, расположенные на оси $x$ и противоположно ориентированные вдоль оси $z$, осциллируют точно в противофазе. Их $x$-координаты отличаются на $\lambda /2$. Вычислите вектор Пойнтинга на больших расстояниях от этой системы.
Решение:
В случае дипольного излучения векторы электрического и магнитного полей в волновой зоне можно найти по формулам
$\vec{E} = k^{2} ( \vec{n} \times \vec{p} ) \times \vec{n} \frac{e^{ikr} }{r}$
и
$\vec{B} = k^{2} \vec{n} \times \vec{p} \frac{e^{ikr} }{r}$;
здесь $k = 2 \pi / \lambda$ - волновое число, $\vec{p}$ - дипольный момент, а $\vec{n}$ - единичный вектор в направлении переноса излучения, которое в нашем случае совпадает с направлением радиус-вектора к точке наблюдения. (Поля пропорциональны $1/r$, поскольку их интенсивности изменяются по закону обратных квадратов. Направление переноса излучения определяется векторным произведением $\vec{E} \times \vec{B} \parallel \vec{n}$. В написанных выше выражениях для дипольного излучения один множитель $k$ следует из разложения векторного потенциала, а другой - непосредственно из уравнения $\vec{B} = \nabla \times \vec{A} = i \vec{k} \times \vec{A}$.) Электрическое поле, создаваемое двумя диполями вместе, записывается в виде
$\vec{E}^{ \prime} = - \frac{ \lambda}{2} \frac{d \vec{E} }{dx} \approx - \frac{i \lambda k^{3} }{2} ( \vec{n} \times \vec{p} ) \times \vec{n} \frac{xe^{ikr} }{r^{2} }$,
а индукция магнитного поля
$\vec{B}^{ \prime} = - \frac{ \lambda}{2} \frac{d \vec{B} }{dx} \approx - \frac{ i \lambda k^{3} }{2} \vec{n} \times \vec{p} \frac{xe^{ikr} }{r^{2} }$;
при получении этих формул мы пренебрегли всеми членами, пропорциональными $1/r^{3}$. Искомый вектор Пойнтинга $\vec{S}$ на больших расстояниях от излучателей будет (Обычно в дипольном приближении вычисляют не суммы напряженностей полей диполей, а поле суммарного дипольного момента.)
$\vec{S} = \vec{c}{4 \pi} ( \vec{E}^{ \prime} \times \vec{B}^{ \prime *} ) \approx \frac{ \pi ck^{4}p^{2} }{4r^{2} } \cos^{2} \theta \sin^{2} \theta \cos^{2} \phi \vec{n}$;
здесь $\cos \theta = \frac{z}{r}$ и $tg \phi = \frac{y}{x}$.
