Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 11044
2019-10-28 
Имеется цилиндр радиусом $a$ и длиной $L$, однородно заполненный полностью ионизованным газом, текущим со скоростью $v$ вдоль оси цилиндра, с плотностью электрического заряда $\rho$.
а) Определите магнитное поле на расстоянии $r$ от оси цилиндра. (Краевыми эффектами пренебречь.)
б) Предположим, что в цилиндр инжектируется параллельный пучок быстрых протонов массой $m$ и начальной скоростью $V^{ \prime}$, направленной параллельно оси цилиндра. Такую систему можно использовать для фокусировки протонов в некоторую точку, расположенную на оси цилиндра. Определите фокусное расстояние $f$, предполагая $L \ll f$ и пренебрегая электростатическими и релятивистскими эффектами. (Фокусное расстояние $f$ - это расстояние от конца цилиндра до фокуса.)
Решение:
а) Согласно закону Ампера, мы имеем
$\oint \vec{B} \cdot d \vec{S} = \frac{4 \pi}{c} I$;
здесь $I$ - полный ток, проходящий через ограниченную замкнутым контуром поверхность. Подставляя $I = \rho v \pi r^{2}$ и учитывая независимость магнитного поля $B$ от углов, получаем
$2 \pi rB = \frac{4 \pi}{c} \rho v \pi r^{2}$,
откуда
$B = \frac{2 \pi}{c} \rho vr$.
б) Пусть $\delta = 2 \pi \rho v/c$. Сила, действующая на протон, движущийся со скоростью $V^{ \prime}$ на расстоянии $r = y_{0}$ от оси цилиндра, равна
$F = m \frac{dv_{y} }{dt} = - \frac{eV^{ \prime}B }{c} = - \frac{e \delta V^{ \prime} }{c} y_{0}$.
Отсюда находим
$\frac{dv_{y}}{dt} = - \frac{e \delta V^{ \prime} }{mc} y_{0}$.
После интегрирования получаем
$v_{y} = - \frac{e \delta V^{ \prime} }{mc} y_{0}t$. (1)
Следовательно,
$\Delta y = - \frac{e \delta V^{ \prime} }{2mc} y_{0}t^{2} = - \frac{e \delta V^{ \prime} }{2mc} y_{0} \left ( \frac{L}{V^{ \prime} } \right )^{2} = - \frac{e \delta L^{2} }{2mc V^{ \prime} } y_{0}$.
В случае $L \ll f$ величина $\Delta y$ очень мала по сравнению с $y_{0}$, и направление движения протона при выходе его из цилиндра определяется соотношением
$\frac{v_{y}}{V^{ \prime} } = \frac{y_{0} }{f}$. (2)
Подставляя сюда выражение (1) для $v_{y}$, находим
$f = y_{0} \frac{mcV^{ \prime} }{e \delta y_{0} V^{ \prime} t } = \frac{mc}{e \delta t} = \frac{mc^{2} V^{ \prime} }{2 \pi \rho e v L} = \frac{mc^{2} }{2 \pi e \rho L} \frac{V^{ \prime} }{v} $;
здесь для получения окончательного результата мы использовали следующие подстановки: $t = L/V^{ \prime}$ и $\delta = 2 \pi \rho v/c$.
Имеется цилиндр радиусом $a$ и длиной $L$, однородно заполненный полностью ионизованным газом, текущим со скоростью $v$ вдоль оси цилиндра, с плотностью электрического заряда $\rho$.
а) Определите магнитное поле на расстоянии $r$ от оси цилиндра. (Краевыми эффектами пренебречь.)
б) Предположим, что в цилиндр инжектируется параллельный пучок быстрых протонов массой $m$ и начальной скоростью $V^{ \prime}$, направленной параллельно оси цилиндра. Такую систему можно использовать для фокусировки протонов в некоторую точку, расположенную на оси цилиндра. Определите фокусное расстояние $f$, предполагая $L \ll f$ и пренебрегая электростатическими и релятивистскими эффектами. (Фокусное расстояние $f$ - это расстояние от конца цилиндра до фокуса.)
Решение:
а) Согласно закону Ампера, мы имеем
$\oint \vec{B} \cdot d \vec{S} = \frac{4 \pi}{c} I$;
здесь $I$ - полный ток, проходящий через ограниченную замкнутым контуром поверхность. Подставляя $I = \rho v \pi r^{2}$ и учитывая независимость магнитного поля $B$ от углов, получаем
$2 \pi rB = \frac{4 \pi}{c} \rho v \pi r^{2}$,
откуда
$B = \frac{2 \pi}{c} \rho vr$.
б) Пусть $\delta = 2 \pi \rho v/c$. Сила, действующая на протон, движущийся со скоростью $V^{ \prime}$ на расстоянии $r = y_{0}$ от оси цилиндра, равна
$F = m \frac{dv_{y} }{dt} = - \frac{eV^{ \prime}B }{c} = - \frac{e \delta V^{ \prime} }{c} y_{0}$.
Отсюда находим
$\frac{dv_{y}}{dt} = - \frac{e \delta V^{ \prime} }{mc} y_{0}$.
После интегрирования получаем
$v_{y} = - \frac{e \delta V^{ \prime} }{mc} y_{0}t$. (1)
Следовательно,
$\Delta y = - \frac{e \delta V^{ \prime} }{2mc} y_{0}t^{2} = - \frac{e \delta V^{ \prime} }{2mc} y_{0} \left ( \frac{L}{V^{ \prime} } \right )^{2} = - \frac{e \delta L^{2} }{2mc V^{ \prime} } y_{0}$.
В случае $L \ll f$ величина $\Delta y$ очень мала по сравнению с $y_{0}$, и направление движения протона при выходе его из цилиндра определяется соотношением
$\frac{v_{y}}{V^{ \prime} } = \frac{y_{0} }{f}$. (2)
Подставляя сюда выражение (1) для $v_{y}$, находим
$f = y_{0} \frac{mcV^{ \prime} }{e \delta y_{0} V^{ \prime} t } = \frac{mc}{e \delta t} = \frac{mc^{2} V^{ \prime} }{2 \pi \rho e v L} = \frac{mc^{2} }{2 \pi e \rho L} \frac{V^{ \prime} }{v} $;
здесь для получения окончательного результата мы использовали следующие подстановки: $t = L/V^{ \prime}$ и $\delta = 2 \pi \rho v/c$.
