Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 11043
2019-10-28 
а) Чему равна энергия взаимодействия двух параллельных диполей, расположенных на расстоянии $d$ друг от друга? Предположите, что вектор, соединяющий оба диполя, перпендикулярен направлениям их дипольных моментов.
б) Две проводящие сферы (радиусом $R$ каждая) помещены в однородное электростатическое поле $\vec{E}$, направленное перпендикулярно линии, соединяющей обе сферы. Расстояние между центрами сфер равно $d$. Определите силу взаимодействия между сферами, считая $R \ll d$.
Решение:
а) Потенциал точечного заряда как функция расстояния $r$ записывается в виде
$V = \frac{q}{r}$. (1)
Дифференцируя это выражение по $-x$, получаем потенциал диполя, ориентированного в направлении оси $x$:
$V_{d} = - \frac{dV}{dx} \Delta x = \frac{xq \Delta x}{r^{3} } = \frac{P \cos \theta}{r^{2} }$,
где $P = q \Delta x$ - дипольный момент. Электрическое поле диполя имеет вид (Автор использует систему единиц СГСЭ и записывает поле в сферической системе координат $r, \theta$ и $\phi$ с центром в середине диполя и полярной осью, направленной параллельно дипольному моменту. При этом $E = 0$.)
$\vec{E}_{d} = \frac{P \sin \theta}{r^{3} } \hat{ \theta}_{1} + \frac{2O \cos \theta}{r^{3} } \hat{r}_{1}$,
где $\hat{ \theta}_{1}$ и $\hat{r}_{1}$ - единичные векторы. Принимая теперь $\theta = 90^{ \circ}$ и $r = d$, находим потенциальную энергию взаимодействия двух параллельных диполей
$W = - \vec{P} \cdot \vec{E}_{d} = \frac{P^{2}}{d^{3}}$.
б) Дипольный момент проводящей сферы, помещенной в однородное электрическое поле $E$, равен $R^{3}E$, где $R$ - радиус сферы. Сила взаимодействия двух сфер $F = - \frac{dW}{dr}$, или
$F = (ER^{3})^{2} \frac{3}{d^{4} } = \frac{3E^{2}R^{6} }{d^{4} }$ (отталкивающая).
а) Чему равна энергия взаимодействия двух параллельных диполей, расположенных на расстоянии $d$ друг от друга? Предположите, что вектор, соединяющий оба диполя, перпендикулярен направлениям их дипольных моментов.
б) Две проводящие сферы (радиусом $R$ каждая) помещены в однородное электростатическое поле $\vec{E}$, направленное перпендикулярно линии, соединяющей обе сферы. Расстояние между центрами сфер равно $d$. Определите силу взаимодействия между сферами, считая $R \ll d$.
Решение:
а) Потенциал точечного заряда как функция расстояния $r$ записывается в виде
$V = \frac{q}{r}$. (1)
Дифференцируя это выражение по $-x$, получаем потенциал диполя, ориентированного в направлении оси $x$:
$V_{d} = - \frac{dV}{dx} \Delta x = \frac{xq \Delta x}{r^{3} } = \frac{P \cos \theta}{r^{2} }$,
где $P = q \Delta x$ - дипольный момент. Электрическое поле диполя имеет вид (Автор использует систему единиц СГСЭ и записывает поле в сферической системе координат $r, \theta$ и $\phi$ с центром в середине диполя и полярной осью, направленной параллельно дипольному моменту. При этом $E = 0$.)
$\vec{E}_{d} = \frac{P \sin \theta}{r^{3} } \hat{ \theta}_{1} + \frac{2O \cos \theta}{r^{3} } \hat{r}_{1}$,
где $\hat{ \theta}_{1}$ и $\hat{r}_{1}$ - единичные векторы. Принимая теперь $\theta = 90^{ \circ}$ и $r = d$, находим потенциальную энергию взаимодействия двух параллельных диполей
$W = - \vec{P} \cdot \vec{E}_{d} = \frac{P^{2}}{d^{3}}$.
б) Дипольный момент проводящей сферы, помещенной в однородное электрическое поле $E$, равен $R^{3}E$, где $R$ - радиус сферы. Сила взаимодействия двух сфер $F = - \frac{dW}{dr}$, или
$F = (ER^{3})^{2} \frac{3}{d^{4} } = \frac{3E^{2}R^{6} }{d^{4} }$ (отталкивающая).
