Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 11042
2019-10-28 
Предположим, что электрон колеблется с частотой $\omega = 10^{15} рад/с$. Начальная амплитуда $A = 10^{-8} см$.
а) Вычислите энергию, излучаемую электроном за один период.
б) Чему равно отношение энергии, излучаемой за один период, к средней механической энергии электрона?
в) За какое время $\tau$ энергия электрона уменьшится вдвое?
Решение:
Пусть
$x = A \sin \omega t$.
Тогда энергия колебаний электрона массой $m$ равна
$E = \frac{1}{2}mA^{2} \omega^{2}$, (1)
откуда находим
$A = \sqrt{ \frac{2E}{m \omega^{2}}}$. (2)
Мощность излучения дается выражением
$\frac{dE}{dt} = - \frac{2}{3c^{3} } e^{2}a^{2}$, (3)
где $a = - A \omega^{2} \sin \omega t$. Подставляя сюда выражение (2) для $A$ и усредняя по периоду, получаем
$\frac{dE}{dt} = - \frac{2}{3} \frac{e^{2} }{c^{3} } \frac{1}{2} \omega^{4} \frac{2E}{ m \omega^{2} } = - \frac{2}{3} \frac{e^{2} \omega^{2} }{mc^{2} } E$. (4)
Следовательно, энергия электрона зависит от времени $t$ следующим образом:
$E = E_{0} e^{ - \frac{2e^{2} \omega^{2} }{3mc^{3} }t }$. (5)
а) $\Delta E \approx \Delta t \left \langle \frac{2e^{2}a^{2} }{3c^{3} } \right \rangle = \frac{2 \pi}{ \omega} \frac{A^{2} }{ 3c^{2} } e^{2} \omega^{4} = \frac{2 \pi A^{2} e^{2} \omega^{3} }{3c^{2}} = \frac{10^{-6} \cdot 2 \pi (4,8)^{2} \cdot 10^{-20} \cdot 10^{45} }{3 \cdot 27 \cdot 10^{30} } = 1,8 \cdot 10^{-21} эрг = 1,1 \cdot 10^{-9} эВ$.
б) Средняя механическая энергия электрона равна сумме средней кинетической и средней потенциальной энергий. Находим
$E = \frac{1}{2}mv^{2} = \frac{1}{2}mA^{2} \omega^{2}$;
здесь $v = \omega A$ - максимальная скорость электрона. Отношение излучаемой за период энергии к средней механической энергии составляет
$\frac{ \Delta E}{E} = \frac{2 \pi}{ \omega} \frac{A^{2} }{3c^{3} } e^{2} \omega^{4} \frac{2}{mA^{2} \omega^{2} } = \frac{4 \pi e^{2} \omega }{3mc^{2} } = \frac{4 \pi (4,8)^{2} \cdot 10^{-20} \cdot 10^{15} }{3 \cdot 27 \cdot 10^{30} \cdot 9,1 \cdot 10^{-28} } = 3,9 \cdot 10^{-8}$.
в) Искомое время $\tau$ можно найти из выражения (5), полагая в нем $E = E_{0}/2$:
$\tau = \frac{3mc^{3}}{2e^{2} \omega^{2} } ln 2 = \frac{0,69 \cdot 3 \cdot 27 \cdot 10^{30} \cdot 9,1 \cdot 10^{-28}}{2(4,8)^{2} \cdot 10^{-20} \cdot 10^{30}} \approx 1,1 \cdot 10^{-7} c$.
Предположим, что электрон колеблется с частотой $\omega = 10^{15} рад/с$. Начальная амплитуда $A = 10^{-8} см$.
а) Вычислите энергию, излучаемую электроном за один период.
б) Чему равно отношение энергии, излучаемой за один период, к средней механической энергии электрона?
в) За какое время $\tau$ энергия электрона уменьшится вдвое?
Решение:
Пусть
$x = A \sin \omega t$.
Тогда энергия колебаний электрона массой $m$ равна
$E = \frac{1}{2}mA^{2} \omega^{2}$, (1)
откуда находим
$A = \sqrt{ \frac{2E}{m \omega^{2}}}$. (2)
Мощность излучения дается выражением
$\frac{dE}{dt} = - \frac{2}{3c^{3} } e^{2}a^{2}$, (3)
где $a = - A \omega^{2} \sin \omega t$. Подставляя сюда выражение (2) для $A$ и усредняя по периоду, получаем
$\frac{dE}{dt} = - \frac{2}{3} \frac{e^{2} }{c^{3} } \frac{1}{2} \omega^{4} \frac{2E}{ m \omega^{2} } = - \frac{2}{3} \frac{e^{2} \omega^{2} }{mc^{2} } E$. (4)
Следовательно, энергия электрона зависит от времени $t$ следующим образом:
$E = E_{0} e^{ - \frac{2e^{2} \omega^{2} }{3mc^{3} }t }$. (5)
а) $\Delta E \approx \Delta t \left \langle \frac{2e^{2}a^{2} }{3c^{3} } \right \rangle = \frac{2 \pi}{ \omega} \frac{A^{2} }{ 3c^{2} } e^{2} \omega^{4} = \frac{2 \pi A^{2} e^{2} \omega^{3} }{3c^{2}} = \frac{10^{-6} \cdot 2 \pi (4,8)^{2} \cdot 10^{-20} \cdot 10^{45} }{3 \cdot 27 \cdot 10^{30} } = 1,8 \cdot 10^{-21} эрг = 1,1 \cdot 10^{-9} эВ$.
б) Средняя механическая энергия электрона равна сумме средней кинетической и средней потенциальной энергий. Находим
$E = \frac{1}{2}mv^{2} = \frac{1}{2}mA^{2} \omega^{2}$;
здесь $v = \omega A$ - максимальная скорость электрона. Отношение излучаемой за период энергии к средней механической энергии составляет
$\frac{ \Delta E}{E} = \frac{2 \pi}{ \omega} \frac{A^{2} }{3c^{3} } e^{2} \omega^{4} \frac{2}{mA^{2} \omega^{2} } = \frac{4 \pi e^{2} \omega }{3mc^{2} } = \frac{4 \pi (4,8)^{2} \cdot 10^{-20} \cdot 10^{15} }{3 \cdot 27 \cdot 10^{30} \cdot 9,1 \cdot 10^{-28} } = 3,9 \cdot 10^{-8}$.
в) Искомое время $\tau$ можно найти из выражения (5), полагая в нем $E = E_{0}/2$:
$\tau = \frac{3mc^{3}}{2e^{2} \omega^{2} } ln 2 = \frac{0,69 \cdot 3 \cdot 27 \cdot 10^{30} \cdot 9,1 \cdot 10^{-28}}{2(4,8)^{2} \cdot 10^{-20} \cdot 10^{30}} \approx 1,1 \cdot 10^{-7} c$.
