ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2019-10-28   
а) Каково отношение толщины скин-слоя в меди на частоте 1 кГц к его толщине на частоте 100 МГц?
б) Чему равна напряженность электрического поля в лазерном пучке при плотности энергии в нем $10^{6} Дж/см^{3}$?
в) Как связаны между собой параметры $R, L$ и $C$ последовательного колебательного контура в случае критического затухания?


Решение:


а) Толщина скин-слоя определяется выражением

$\delta = \frac{c}{ \sqrt{2 \pi \mu \omega \sigma}}$,

т. е. она обратно пропорциональна квадратному корню из частоты. Следовательно, мы имеем

$\frac{ \delta_{1}}{ \delta_{2}} = \sqrt{ \frac{ \omega_{2} }{ \omega_{1} } } = \sqrt{ \frac{10^{8} }{10^{3} } } \approx 300$.

б) Плотность энергии лазерного луча связана с пиковым значением электрического поля $E$ соотношением

$Плотность \: энергии = \frac{E^{2} }{8 \pi }$.

Отсюда находим $E = \sqrt{ 8 \pi \cdot 10^{13}} = 1,6 \cdot 10^{7}$ ед. СГСЭ = $4,8 \cdot 10^{11} В/м$.

в) Уравнение колебательного контура записывается в виде

$L \frac{dI}{dt} + RI + \frac{Q}{C} = 0$. (1)

Дифференцируя его по времени $t$, получаем следующее уравнение:

$L \frac{d^{2}I }{dt^{2} } + R \frac{dI}{dt} + \frac{I}{C} = 0$. (1a)

Ищем решение в виде

$I = A_{0} e^{-i \delta t}$.

После подстановки его в уравнение получаем

$L \delta^{2} + R \delta i - \frac{1}{C} = 0$.

Решения последнего уравнения записываются в виде

$\delta = \frac{-iR \pm \sqrt{ -R^{2} + 4L/C } }{2L}$.

Критическому затуханию соответствует условие

$R^{2} - \frac{4L}{C} = 0$.