Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 11040
2019-10-23 
Согласно ньютоновской теории тяготения, гравитационный потенциал Солнца определяется (в предположении сферической симметрии) формулой
$- \phi = \frac{GM}{r}$,
где $G = 67 \cdot 10^{-9}$ ед. СГС (гравитационная постоянная), $GM = 1,3 \cdot 10^{26}$ ед. СГС, $M$ - масса Солнца, $r$ - расстояние от его центра.
а) Получите формулу для силы, действующей на частицу массой $m$, удаленную от Солнца на расстояние $r$.
б) По Эйнштейну, ньютоновская теория требует уточнения. Если ввести поправку первого порядка, то гравитационный потенциал можно записать в виде
$- \phi = \frac{GM}{r} + \frac{A}{r^{2} }$.
Исходя из соображений размерностей, попытайтесь найти выражение для поправочного коэффициента $A$. Он должен зависеть от скорости света, а также от $G$ и $M$. Хорошим считается только решение, полученное с точностью до множителя 2.
в) Оцените относительную величину поправки (к ньютоновскому потенциалу), приняв расстояние от Солнца до Земли равным $r = 1,5 \cdot 10^{13} см$.
Решение:
а) Поскольку Солнце представляет собой однородный шар, то сила равна
$f = -G \frac{mM}{r^{2} }$. (1)
б) Согласно общей теории относительности, гравитационный потенциал записывается в виде
$- \phi = \frac{GM}{r} + \frac{A}{r^{2} }$, (2)
где $A$ может зависеть только от $c, G$ и $M$.
Пусть $D(A)$ - размерность параметра $A$. Из (2) приходим к следующему соотношению:
$D(A) = D (GMr)$. (3)
Используя соотношение
$D \left ( \frac{GmM}{r} \right ) = D(mc^{2}) \equiv D(энергия)$,
получаем
$D(r) = D \left ( \frac{GM}{c^{2} } \right )$. (4)
Из (3) и (4) имеем
$D(A) = D \left ( \frac{G^{2}M^{2} }{c^{2} } \right )$.
Следовательно,
$A \sim \frac{G^{2}M^{2} }{c^{2} }$.
в) Отношение второго члена к первому в формуле (2) равно
$\frac{GM}{rc^{2} } = \frac{1,3 \cdot 10^{26} }{1,5 \cdot 10^{13} \cdot 9 \cdot 10^{20} } \approx 10^{-8}$.
Для Земли эта величина очень мала. Только для Меркурия эта поправка является ощутимой.
Согласно ньютоновской теории тяготения, гравитационный потенциал Солнца определяется (в предположении сферической симметрии) формулой
$- \phi = \frac{GM}{r}$,
где $G = 67 \cdot 10^{-9}$ ед. СГС (гравитационная постоянная), $GM = 1,3 \cdot 10^{26}$ ед. СГС, $M$ - масса Солнца, $r$ - расстояние от его центра.
а) Получите формулу для силы, действующей на частицу массой $m$, удаленную от Солнца на расстояние $r$.
б) По Эйнштейну, ньютоновская теория требует уточнения. Если ввести поправку первого порядка, то гравитационный потенциал можно записать в виде
$- \phi = \frac{GM}{r} + \frac{A}{r^{2} }$.
Исходя из соображений размерностей, попытайтесь найти выражение для поправочного коэффициента $A$. Он должен зависеть от скорости света, а также от $G$ и $M$. Хорошим считается только решение, полученное с точностью до множителя 2.
в) Оцените относительную величину поправки (к ньютоновскому потенциалу), приняв расстояние от Солнца до Земли равным $r = 1,5 \cdot 10^{13} см$.
Решение:
а) Поскольку Солнце представляет собой однородный шар, то сила равна
$f = -G \frac{mM}{r^{2} }$. (1)
б) Согласно общей теории относительности, гравитационный потенциал записывается в виде
$- \phi = \frac{GM}{r} + \frac{A}{r^{2} }$, (2)
где $A$ может зависеть только от $c, G$ и $M$.
Пусть $D(A)$ - размерность параметра $A$. Из (2) приходим к следующему соотношению:
$D(A) = D (GMr)$. (3)
Используя соотношение
$D \left ( \frac{GmM}{r} \right ) = D(mc^{2}) \equiv D(энергия)$,
получаем
$D(r) = D \left ( \frac{GM}{c^{2} } \right )$. (4)
Из (3) и (4) имеем
$D(A) = D \left ( \frac{G^{2}M^{2} }{c^{2} } \right )$.
Следовательно,
$A \sim \frac{G^{2}M^{2} }{c^{2} }$.
в) Отношение второго члена к первому в формуле (2) равно
$\frac{GM}{rc^{2} } = \frac{1,3 \cdot 10^{26} }{1,5 \cdot 10^{13} \cdot 9 \cdot 10^{20} } \approx 10^{-8}$.
Для Земли эта величина очень мала. Только для Меркурия эта поправка является ощутимой.
