Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 11039
2019-10-23 
В аэропорту, расположенном на широте экватора, имеются трое одинаковых маятниковых часов. Часы А оставляют в аэропорту, часы В помещают в самолет, отлетающий на восток, а часы 3 - в самолет, отлетающий на запад. Однажды точно в полдень, когда все часы показывают одно и то же время, самолеты взлетают. Самолет В облетает земной шар по экватору в восточном направлении с постоянной путевой скоростью. Самолет 3 облетает земной шар в западном направлении с той же путевой скоростью. На следующие сутки оба самолета прибывают в аэропорт одновременно, поскольку путевые скорости у них одинаковы. Часы А, оставленные в аэропорту, показывают в момент прибытия самолетов точно полдень, т. е. между взлетом и посадкой обоих самолетов прошло 24 ч, 0 мин и 0,00000000 с.
а) Будут ли эти трое часов по-прежнему показывать одно и то же время? Если нет, то перечислите физические причины, которые, по вашему мнению, могли бы вызвать это расхождение.
б) Примите во внимание наиболее существенную причину и определите показания часов В и 3 в тот момент, когда часы А в аэропорту показывают полдень (после 24-часового полета). Радиус Земли можно считать равным 6000 км.
Решение:
а) Нет, часы будут показывать разное время благодаря действию следующих эффектов:
1) ускорения Кориолиса $- 2 \vec{ \omega} \times \vec{v}$,
2) ослабления гравитационного притяжения с ростом высоты.
3) центростремительного ускорения $-v^{2} \hat{r}_{1}/r$,
4) сил трения между воздухом и маятником,
5) релятивистского эффекта $t = \tau/ \sqrt{1 - (v/c)^{2} }$,
6) ускорения при взлете и посадке,
7) ускорения, связанного с орбитальным движением Земли, и т. д.
б) В качестве системы отсчета выберем инерциальную систему с началом координат в центре Земли. В этой системе кориолисова сила отсутствует. Действующее ускорение свободного падения $g_{эфф}$ для объекта, движущегося вблизи земной поверхности с угловой скоростью $\vec{ \omega}$, дается выражением
$\vec{g}_{эфф} = - \frac{GM}{R^{2} } \hat{R} - \vec{ \omega} \times ( \vec{ \omega} \times \vec{R} ) = \left ( - \frac{GM}{R^{2} } + \omega^{2}R \right ) \hat{R} \equiv - g \hat{R}$,
т.е.
$g_{эфф} \equiv g = \frac{GM}{R^{2}} - \omega^{2}R = g_{0} - \omega^{2}R$,
где $g_{0} = GM/R^{2}$.
Период колебаний математического маятника равен, как известно, $T = 2 \pi \sqrt{L/g}$, где $L$ - длина маятника, которую мы считаем неизменной. Угловая скорость самолета з, летящего на запад, в инерциальной системе равна нулю. Поэтому период колебаний маятника в нем
$T_{з} = 2 \pi \sqrt{ \frac{L}{g_{0} } } = 2 \pi \sqrt{ \frac{L}{g + \omega^{2}R } } = 2 \pi \sqrt{ \frac{L}{g} } \sqrt{ \frac{1}{1 + \frac{ \omega^{2}R }{g} } } = \frac{T_{0} }{ \sqrt{1 + \frac{ \omega^{2}R }{g} } }$; (2)
здесь $T_{0} = 2 \pi \sqrt{L/g}$ -период колебаний часов, оставленных в аэропорту. Угловая скорость самолета В, летящего на восток, вдвое превышает угловую скорость вращения Земли. Следовательно,
$T_{в} = 2 \pi \sqrt{ \frac{L}{g_{0} - 2 \omega^{2}R } } = 2 \pi \sqrt{ \frac{L}{g - 3 \omega^{2}R } } = 2 \pi \sqrt{ \frac{L}{g} } \sqrt{ \frac{1}{1 - \frac{3 \omega^{2} R}{g} } } = \frac{T_{0} }{ \sqrt{1 - \frac{3 \omega^{2}R }{g} } }$. (3)
Учитывая, что $\omega^{2}R \ll g$, периоды колебаний обоих маятниковых часов в летящих самолетах можно приближенно представить следующими выражениями:
$T_{в} = T_{0} + \frac{1}{2}T_{0} \frac{ \omega^{2}R }{g_{0} - \omega^{2}R } = T_{0 } + \frac{3 \Delta T}{2}$
и
$T_{з} = T_{0} - \frac{1}{2} T_{0 } \frac{ \omega^{2}R }{g_{0} - \omega^{2}R } = T_{0} - \frac{ \Delta T}{2}$,
Подставляя сюда $g = g_{0} - \omega^{2}R = 9,8 м/с^{2}, R = 6 \cdot 10^{6} м$ и $T_{0} = 24 ч$ и учитывая, что $\omega = 2 \pi /T_{0}$, получаем
$\Delta T = \frac{4 \pi^{2} \cdot 6 \cdot 10^{6} }{9,8 \cdot 24 \cdot 3600} = 280 с$.
Поскольку $T_{в} > T_{0}$, часы В идут медленнее часов А, а поскольку $T_{з} < T_{0}$, часы $T_{з}$ идут быстрее. По прибытии самолетов в аэропорт часы В отстанут на 420 с, а часы 3 уйдут вперед на 140 с относительно часов А, оставленных в аэропорту.
В аэропорту, расположенном на широте экватора, имеются трое одинаковых маятниковых часов. Часы А оставляют в аэропорту, часы В помещают в самолет, отлетающий на восток, а часы 3 - в самолет, отлетающий на запад. Однажды точно в полдень, когда все часы показывают одно и то же время, самолеты взлетают. Самолет В облетает земной шар по экватору в восточном направлении с постоянной путевой скоростью. Самолет 3 облетает земной шар в западном направлении с той же путевой скоростью. На следующие сутки оба самолета прибывают в аэропорт одновременно, поскольку путевые скорости у них одинаковы. Часы А, оставленные в аэропорту, показывают в момент прибытия самолетов точно полдень, т. е. между взлетом и посадкой обоих самолетов прошло 24 ч, 0 мин и 0,00000000 с.
а) Будут ли эти трое часов по-прежнему показывать одно и то же время? Если нет, то перечислите физические причины, которые, по вашему мнению, могли бы вызвать это расхождение.
б) Примите во внимание наиболее существенную причину и определите показания часов В и 3 в тот момент, когда часы А в аэропорту показывают полдень (после 24-часового полета). Радиус Земли можно считать равным 6000 км.
Решение:
а) Нет, часы будут показывать разное время благодаря действию следующих эффектов:
1) ускорения Кориолиса $- 2 \vec{ \omega} \times \vec{v}$,
2) ослабления гравитационного притяжения с ростом высоты.
3) центростремительного ускорения $-v^{2} \hat{r}_{1}/r$,
4) сил трения между воздухом и маятником,
5) релятивистского эффекта $t = \tau/ \sqrt{1 - (v/c)^{2} }$,
6) ускорения при взлете и посадке,
7) ускорения, связанного с орбитальным движением Земли, и т. д.
б) В качестве системы отсчета выберем инерциальную систему с началом координат в центре Земли. В этой системе кориолисова сила отсутствует. Действующее ускорение свободного падения $g_{эфф}$ для объекта, движущегося вблизи земной поверхности с угловой скоростью $\vec{ \omega}$, дается выражением
$\vec{g}_{эфф} = - \frac{GM}{R^{2} } \hat{R} - \vec{ \omega} \times ( \vec{ \omega} \times \vec{R} ) = \left ( - \frac{GM}{R^{2} } + \omega^{2}R \right ) \hat{R} \equiv - g \hat{R}$,
т.е.
$g_{эфф} \equiv g = \frac{GM}{R^{2}} - \omega^{2}R = g_{0} - \omega^{2}R$,
где $g_{0} = GM/R^{2}$.
Период колебаний математического маятника равен, как известно, $T = 2 \pi \sqrt{L/g}$, где $L$ - длина маятника, которую мы считаем неизменной. Угловая скорость самолета з, летящего на запад, в инерциальной системе равна нулю. Поэтому период колебаний маятника в нем
$T_{з} = 2 \pi \sqrt{ \frac{L}{g_{0} } } = 2 \pi \sqrt{ \frac{L}{g + \omega^{2}R } } = 2 \pi \sqrt{ \frac{L}{g} } \sqrt{ \frac{1}{1 + \frac{ \omega^{2}R }{g} } } = \frac{T_{0} }{ \sqrt{1 + \frac{ \omega^{2}R }{g} } }$; (2)
здесь $T_{0} = 2 \pi \sqrt{L/g}$ -период колебаний часов, оставленных в аэропорту. Угловая скорость самолета В, летящего на восток, вдвое превышает угловую скорость вращения Земли. Следовательно,
$T_{в} = 2 \pi \sqrt{ \frac{L}{g_{0} - 2 \omega^{2}R } } = 2 \pi \sqrt{ \frac{L}{g - 3 \omega^{2}R } } = 2 \pi \sqrt{ \frac{L}{g} } \sqrt{ \frac{1}{1 - \frac{3 \omega^{2} R}{g} } } = \frac{T_{0} }{ \sqrt{1 - \frac{3 \omega^{2}R }{g} } }$. (3)
Учитывая, что $\omega^{2}R \ll g$, периоды колебаний обоих маятниковых часов в летящих самолетах можно приближенно представить следующими выражениями:
$T_{в} = T_{0} + \frac{1}{2}T_{0} \frac{ \omega^{2}R }{g_{0} - \omega^{2}R } = T_{0 } + \frac{3 \Delta T}{2}$
и
$T_{з} = T_{0} - \frac{1}{2} T_{0 } \frac{ \omega^{2}R }{g_{0} - \omega^{2}R } = T_{0} - \frac{ \Delta T}{2}$,
Подставляя сюда $g = g_{0} - \omega^{2}R = 9,8 м/с^{2}, R = 6 \cdot 10^{6} м$ и $T_{0} = 24 ч$ и учитывая, что $\omega = 2 \pi /T_{0}$, получаем
$\Delta T = \frac{4 \pi^{2} \cdot 6 \cdot 10^{6} }{9,8 \cdot 24 \cdot 3600} = 280 с$.
Поскольку $T_{в} > T_{0}$, часы В идут медленнее часов А, а поскольку $T_{з} < T_{0}$, часы $T_{з}$ идут быстрее. По прибытии самолетов в аэропорт часы В отстанут на 420 с, а часы 3 уйдут вперед на 140 с относительно часов А, оставленных в аэропорту.
