Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 11037
2019-10-23 
Ящик с точными приборами поставлен на амортизирующую прокладку для защиты от вертикальных вибраций.
а) Под нагрузкой прокладка сдавливается на 6 см. Чему равен период собственных колебаний ящика?
б) Пол вибрирует с частотой 20 Гц. Каково отношение амплитуд колебаний ящика и пола?
Решение:
а) В состоянии покоя вертикальная составляющая сил должна быть равна нулю:
$mg + kx = 0$.
Нам дано $x = - 6 см$. Следовательно,
$k = \frac{mg}{6}$. (1)
При возникновении собственных колебаний их период равен
$T = 2 \pi \sqrt{ \frac{m}{k} } = 2 \pi \sqrt{ \frac{6}{g} } \approx 0,5 с$.
б) Если пол вибрирует но закону $Ae^{ i \omega_{0}t}$, то уравнение движения записывается в виде
$m \ddot{x} + kx = Ak e^{ i \omega_{0}t}$; (2)
здесь мы приняли, что состоянию равновесия соответствует значение координаты $x = 0$. Перепишем уравнение (2), подставляя вместо $k$ его выражение (1):
$\ddot{x} + \frac{1}{6} gx = \frac{1}{6} Age^{i \omega_{0} t}$. (3)
Это уравнение имеет стационарное решение
$x = \frac{A}{1 - \frac{6 \omega_{0}^{2} }{g} } e^{i \omega_{0}t }$.
Следовательно, искомое отношение амплитуд при $\omega_{0} = 40 \pi рад/с$ равно
$\frac{1}{ \left | 1 - \frac{6 \omega_{0}^{2} }{g} \right | } \approx 0,01$.
Ящик с точными приборами поставлен на амортизирующую прокладку для защиты от вертикальных вибраций.
а) Под нагрузкой прокладка сдавливается на 6 см. Чему равен период собственных колебаний ящика?
б) Пол вибрирует с частотой 20 Гц. Каково отношение амплитуд колебаний ящика и пола?
Решение:
а) В состоянии покоя вертикальная составляющая сил должна быть равна нулю:
$mg + kx = 0$.
Нам дано $x = - 6 см$. Следовательно,
$k = \frac{mg}{6}$. (1)
При возникновении собственных колебаний их период равен
$T = 2 \pi \sqrt{ \frac{m}{k} } = 2 \pi \sqrt{ \frac{6}{g} } \approx 0,5 с$.
б) Если пол вибрирует но закону $Ae^{ i \omega_{0}t}$, то уравнение движения записывается в виде
$m \ddot{x} + kx = Ak e^{ i \omega_{0}t}$; (2)
здесь мы приняли, что состоянию равновесия соответствует значение координаты $x = 0$. Перепишем уравнение (2), подставляя вместо $k$ его выражение (1):
$\ddot{x} + \frac{1}{6} gx = \frac{1}{6} Age^{i \omega_{0} t}$. (3)
Это уравнение имеет стационарное решение
$x = \frac{A}{1 - \frac{6 \omega_{0}^{2} }{g} } e^{i \omega_{0}t }$.
Следовательно, искомое отношение амплитуд при $\omega_{0} = 40 \pi рад/с$ равно
$\frac{1}{ \left | 1 - \frac{6 \omega_{0}^{2} }{g} \right | } \approx 0,01$.
