2019-10-23
Представьте себе, что вы ритмично хлопаете в ладони, причем промежуток времени между двумя последовательными хлопками равен $T_{1}$. Каждый хлопок дает звук в течение весьма короткого (по сравнению с $T_{1}$) интервала времени $\Delta t$. В течение интервала времени $\Delta t$ звуковое давление около вашего уха можно считать постоянным. В остальное время оно равно нулю.
а) Покажите качественно, что дает фурье-преобразование звука хлопка. (Для этого не нужно выполнять непосредственно разложение в ряд Фурье.)
б) Представьте себе, что вместо ритмично повторяющихся хлопков имеется только один хлопок длительностью $\Delta t$. Как будет выглядеть качественно фурье-преобразование в этом случае? Сравните его с предыдущим результатом.
В обоих случаях (а и б) требуется показать с помощью графиков «спектр» Фурье, т. е. показать зависимость интенсивности от частоты с соответствующими масштабными соотношениями, поясняющими качественно форму спектра.
Решение:
Разложение функции $f(t)$ в ряд Фурье записывается в виде
$f(t) = \frac{A_{0} }{2} + \sum_{n = 1}^{ \infty} A_{n} \cos n \omega t + \sum_{n = 1}^{ \infty} B_{n} \sin n \omega t$. (1)
а) Прежде всего отметим, что в нашем случае $f(t)$ - четная функция времени $t$; следовательно, все $B_{n}$ должны обращаться в нуль. Кроме того, заданный сигнал является периодическим (с периодом $T_{1}$). Таким образом, мы имеем следующее условие:
$f(t + T_{1}) \equiv f(t)$. (2)
Из (1) и (2) находим
$\omega = \omega_{1} \equiv \frac{2 \pi}{T_{1} }$, (3)
и разложение (1) принимает вид
$f(t) = \sum_{n = 1}^{ \infty} A_{n} \cos \frac{2 \pi nt}{T_{1} } + \frac{A_{0} }{2}$. (4)
Нетрудно заметить, что сумма большого числа фурье-компо-нент с приблизительно одинаковыми амплитудами обращается в нуль, за исключением тех промежутков времени, где многие из этих компонент оказываются в фазе. В соответствии с заданной волновой картиной фурье-компоненты должны находиться в фазе лишь в течение тех промежутков времени, когда длятся хлопки, т. е. в промежутках
$m_{1}T_{1} \leq t \leq m_{1}T_{1} + \Delta t, m_{1} = 0,1,2,3, \cdots$,
должно выполняться условие
$\cos n \omega_{1} t \approx 1$.
Оно справедливо при
$n \omega_{1} \Delta t \ll 1$ или $n \ll \frac{1}{ \omega_{1} \Delta t }$.
Таким образом, приходим к заключению, что
$A_{n} \approx const$ при $n \ll \frac{1}{ \omega_{1} \Delta t }$.
Чтобы остальные компоненты не вызывали существенного искажения исходной волновой картины, они должны быть достаточно малыми:
$A_{n} \rightarrow 0$ при $n > \frac{1}{ \omega_{1} \Delta t }$.
В результате получаем следующее распределение:
б) Пусть $T_{2}$ - временной интервал, внутри которого можно услышать звук одиночного хлопка. Этот интервал может быть сколь угодно большим, но обязательно конечным. Если допустить, что в случае „а” интервал $T_{1}$ между двумя последовательными хлопками превышает $T_{2}$, то к решению данной задачи можно применить результат, полученный выше. Однако в том случае, когда $T_{2}$ произвольно велико, частота $\omega_{1}$, определяемая формулой (3), становится весьма малой. Отсюда следует, что спектр одиночного хлопка является непрерывным.
К такому же выводу можно прийти, выполняя преобразование Фурье, т. е. записывая функцию $f(t)$ в виде
$f(t) = \frac{1}{ \sqrt{2 \pi} } \int_{ - \infty}^{ + \infty} e^{i \omega t} A( \omega) d \omega$,
причем
$A( \omega) = \frac{1}{ \sqrt{2 \pi} } \int_{ - \infty}^{ + \infty} f(t)r^{ - i \omega t} dt = \frac{1}{ \sqrt{2 \pi} } \int_{ - \Delta t/ 2 }^{ + \Delta t / 2 } e^{ - i \omega t} dt$.
Таким образом, мы и здесь получаем непрерывный спектр $A( \omega)$. Его поведение отражено выше на рисунке.