Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 11032
2019-10-23 
Спутник движется по сильно вытянутой эллиптической орбите в плоскости земного экватора. Нарисуйте эту орбиту, отметьте положение Земли и опишите влияние небольшого сопротивления атмосферы на траекторию спутника. Рассмотрите особо любые изменения, которые могут возникнуть у эксцентриситета орбиты $e$, периода обращения спутника $T$, большой полуоси орбиты $a$ и расстояния кратчайшего сближения с Землей $R_{1}$.
Решение:
Как известно из первого закона Кеплера, Земля должна находиться в одном из фокусов эллиптической орбиты.
Тормозящее действие атмосферы проявляется при движении спутника только вблизи Земли. Пусть в результате этого торможения спутник теряет за один оборот импульс $\Delta P$. При этом момент импульса спутника уменьшается на
$\Delta J = - \Delta P R_{1}$, (1)
где $R_{1}$ - показанное на рисунке расстояние от центра Земли до перигея орбиты. Эксцентриситет орбиты $e$ связан с моментом импульса $J$ соотношением
$e = \sqrt{ 1 + \frac{2EJ^{2} }{mk^{2} } } \approx 1 + \frac{EJ^{2} }{mk^{2} }$, (2)
где $E$ - полная энергия системы, $k$ - постоянная в выражении для потенциальной энергии $V = - \frac{mk}{r}$. В случае эллиптической орбиты полная энергия $E$ отрицательна и $0 < e < 1$. Дифференцируя соотношение (2), затем находим
$\frac{ \Delta e}{e} = \frac{J^{2} \Delta E + 2EJ \Delta J }{emk^{2} }$; (3)
здесь $\Delta E$ — энергия, теряемая спутником за один оборот. Используя соотношения
$\frac{J^{2} }{mR_{1}^{2} } = 2[E - V(R_{1})]$ и $\Delta E = \frac{P}{m} \Delta P = \frac{J \Delta J}{mR_{1}^{2} }$,
получаем
$\frac{ \Delta e}{e} = \frac{2[2E - V(R_{1} )]J \Delta J}{emk^{2} }$. (4)
В случае эллиптической орбиты
$2E - V (R_{1}) = mk \left ( \frac{1}{R_{1} } - \frac{1}{a} \right ) > 0$. (5)
Поскольку знак $\Delta J$ отрицателен, из (4) и (5) следует
$\frac{ \Delta e}{e} < 0$.
Из этой формулы мы видим, что эксцентриситет орбиты уменьшается. С каждым оборотом спутник становится ближе к Земле. Его орбита все больше и больше приближается к круговой.
Большая полуось орбиты а пропорциональна $1/W$, где $W$ - энергия связи: $W = - E$. Поскольку спутник теряет энергию, то $W$ возрастает. Следовательно, $a$ уменьшается. Уменьшается также и период его обращения $T$, так как в соответствии с третьим законом Кеплера квадрат периода пропорционален кубу большой полуоси.
Спутник теряет свою энергию на торможение лишь при сближении с Землей. Поэтому подавляющую часть периода обращения он движется вне атмосферы, а остальную, меньшую, часть — в ней. С каждым оборотом полярный угол, соответствующий наибольшему сближению с Землей, увеличивается. При этом орбита спутника прецессирует в направлении, показанном на рисунке. Кратчайшее расстояние между спутником и Землей $R_{1}$, можно найти, пользуясь законами сохранения момента импульса и энергии:
$R_{1} = - \frac{k}{2E} - \sqrt{ \frac{k^{2} }{4E^{2} } + \frac{J^{2} }{2mE} } = - \frac{k}{2E} + \frac{k}{2E} \sqrt{ 1 + \frac{2EJ^{2} }{mk^{2} } } \approx - \frac{k}{2E} + \frac{k}{2E} \left ( 1 + \frac{EJ^{2} }{mk^{2} } \right ) = \frac{}{}$;
здесь, поскольку $E < 0$, знак корня во втором выражении изменен на противоположный. Следовательно, по мере уменьшения $J$ расстояние $R_{1}$ сокращается.
Спутник движется по сильно вытянутой эллиптической орбите в плоскости земного экватора. Нарисуйте эту орбиту, отметьте положение Земли и опишите влияние небольшого сопротивления атмосферы на траекторию спутника. Рассмотрите особо любые изменения, которые могут возникнуть у эксцентриситета орбиты $e$, периода обращения спутника $T$, большой полуоси орбиты $a$ и расстояния кратчайшего сближения с Землей $R_{1}$.
Решение:
Как известно из первого закона Кеплера, Земля должна находиться в одном из фокусов эллиптической орбиты.
Тормозящее действие атмосферы проявляется при движении спутника только вблизи Земли. Пусть в результате этого торможения спутник теряет за один оборот импульс $\Delta P$. При этом момент импульса спутника уменьшается на
$\Delta J = - \Delta P R_{1}$, (1)
где $R_{1}$ - показанное на рисунке расстояние от центра Земли до перигея орбиты. Эксцентриситет орбиты $e$ связан с моментом импульса $J$ соотношением
$e = \sqrt{ 1 + \frac{2EJ^{2} }{mk^{2} } } \approx 1 + \frac{EJ^{2} }{mk^{2} }$, (2)
где $E$ - полная энергия системы, $k$ - постоянная в выражении для потенциальной энергии $V = - \frac{mk}{r}$. В случае эллиптической орбиты полная энергия $E$ отрицательна и $0 < e < 1$. Дифференцируя соотношение (2), затем находим
$\frac{ \Delta e}{e} = \frac{J^{2} \Delta E + 2EJ \Delta J }{emk^{2} }$; (3)
здесь $\Delta E$ — энергия, теряемая спутником за один оборот. Используя соотношения
$\frac{J^{2} }{mR_{1}^{2} } = 2[E - V(R_{1})]$ и $\Delta E = \frac{P}{m} \Delta P = \frac{J \Delta J}{mR_{1}^{2} }$,
получаем
$\frac{ \Delta e}{e} = \frac{2[2E - V(R_{1} )]J \Delta J}{emk^{2} }$. (4)
В случае эллиптической орбиты
$2E - V (R_{1}) = mk \left ( \frac{1}{R_{1} } - \frac{1}{a} \right ) > 0$. (5)
Поскольку знак $\Delta J$ отрицателен, из (4) и (5) следует
$\frac{ \Delta e}{e} < 0$.
Из этой формулы мы видим, что эксцентриситет орбиты уменьшается. С каждым оборотом спутник становится ближе к Земле. Его орбита все больше и больше приближается к круговой.
Большая полуось орбиты а пропорциональна $1/W$, где $W$ - энергия связи: $W = - E$. Поскольку спутник теряет энергию, то $W$ возрастает. Следовательно, $a$ уменьшается. Уменьшается также и период его обращения $T$, так как в соответствии с третьим законом Кеплера квадрат периода пропорционален кубу большой полуоси.
Спутник теряет свою энергию на торможение лишь при сближении с Землей. Поэтому подавляющую часть периода обращения он движется вне атмосферы, а остальную, меньшую, часть — в ней. С каждым оборотом полярный угол, соответствующий наибольшему сближению с Землей, увеличивается. При этом орбита спутника прецессирует в направлении, показанном на рисунке. Кратчайшее расстояние между спутником и Землей $R_{1}$, можно найти, пользуясь законами сохранения момента импульса и энергии:
$R_{1} = - \frac{k}{2E} - \sqrt{ \frac{k^{2} }{4E^{2} } + \frac{J^{2} }{2mE} } = - \frac{k}{2E} + \frac{k}{2E} \sqrt{ 1 + \frac{2EJ^{2} }{mk^{2} } } \approx - \frac{k}{2E} + \frac{k}{2E} \left ( 1 + \frac{EJ^{2} }{mk^{2} } \right ) = \frac{}{}$;
здесь, поскольку $E < 0$, знак корня во втором выражении изменен на противоположный. Следовательно, по мере уменьшения $J$ расстояние $R_{1}$ сокращается.
