Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 11028
2019-10-23 
Космический корабль движется по круговой орбите радиусом $r_{0}$. Ракетный двигатель мгновенно увеличивает линейную скорость корабля на 8%. Каково расстояние до апогея новой орбиты? Нарисуйте аккуратно новую стационарную орбиту. Постройте график одномерного эффективного потенциала и покажите, как он изменился после сообщения кораблю дополнительного импульса.
Решение:
Космический корабль движется по круговой орбите радиусом $r_{0}$. При этом центробежная сила инерции должна уравновешивать силу притяжения, действующую по закону обратных квадратов:
$mr_{0} \dot{ \theta}^{} = \frac{k}{r_{0}^{2} }$. (1)
Следовательно, момент импульса корабля
$J_{0} = m \dot{ \theta} r_{0}^{2} = \sqrt{mkr_{0} }$. (2)
Возрастание линейной скорости корабля на 8% вызывает увеличение момента импульса также на 8%. Таким образом, $J = 1,08J_{0}$. Дифференциальное уравнение движения корабля имеет вид
$\frac{d^{2}u}{d \theta^{2} } + u = \frac{km}{J^{2} }$, (3)
где $u = 1/r$. Это уравнение имеет следующее решение:
$r = \frac{1}{u} = \frac{1}{ \frac{km}{J^{2} } + A \cos \theta }$, (4)
где $A$ - постоянная. Используя начальное условие $r = r_{0} = J_{0}^{2}/km$ при $\theta = 0$, можно определить $A$:
$A = \frac{1}{r_{0} } - \frac{km}{J^{2} } = \frac{1}{r_{0} } \left [ 1 - \left ( \frac{J_{0} }{J} \right )^{2} \right ] \approx 0,14 \frac{1}{r_{0} }$. (5)
Следовательно,
$r = \frac{r_{0} }{0,86 + 0,14 \cos \theta }$. (6)
Отсюда находим, что расстояние до апогея равно $1,40r_{0}$.
Другое решение. Пусть $\bar{V}$ и $R$ - скорость корабля и расстояние до него в апогее. В соответствии с законом сохранения момента импульса и энергии имеем
$mvr_{0} = \frac{m \bar{V}}{R}$, (7)
$\frac{1}{2} mv^{2} - \frac{k}{r_{0} } = \frac{1}{2} m \bar{V}^{2} - \frac{k}{R}$. (8)
Из уравнений (7) и (8) находим
$R = \frac{v^{2} }{ \frac{2k}{mr_{0} } - v^{2} } r_{0}$. (9)
Подставляя сюда выражение для $\frac{k}{r_{0} }$ из равенства (1), т. е.
$\frac{k}{r_{0} } = mv_{0}^{2}$, (10)
Получаем $R \approx 1,4r_{0}$.
Космический корабль движется по круговой орбите радиусом $r_{0}$. Ракетный двигатель мгновенно увеличивает линейную скорость корабля на 8%. Каково расстояние до апогея новой орбиты? Нарисуйте аккуратно новую стационарную орбиту. Постройте график одномерного эффективного потенциала и покажите, как он изменился после сообщения кораблю дополнительного импульса.
Решение:
Космический корабль движется по круговой орбите радиусом $r_{0}$. При этом центробежная сила инерции должна уравновешивать силу притяжения, действующую по закону обратных квадратов:
$mr_{0} \dot{ \theta}^{} = \frac{k}{r_{0}^{2} }$. (1)
Следовательно, момент импульса корабля
$J_{0} = m \dot{ \theta} r_{0}^{2} = \sqrt{mkr_{0} }$. (2)
Возрастание линейной скорости корабля на 8% вызывает увеличение момента импульса также на 8%. Таким образом, $J = 1,08J_{0}$. Дифференциальное уравнение движения корабля имеет вид
$\frac{d^{2}u}{d \theta^{2} } + u = \frac{km}{J^{2} }$, (3)
где $u = 1/r$. Это уравнение имеет следующее решение:
$r = \frac{1}{u} = \frac{1}{ \frac{km}{J^{2} } + A \cos \theta }$, (4)
где $A$ - постоянная. Используя начальное условие $r = r_{0} = J_{0}^{2}/km$ при $\theta = 0$, можно определить $A$:
$A = \frac{1}{r_{0} } - \frac{km}{J^{2} } = \frac{1}{r_{0} } \left [ 1 - \left ( \frac{J_{0} }{J} \right )^{2} \right ] \approx 0,14 \frac{1}{r_{0} }$. (5)
Следовательно,
$r = \frac{r_{0} }{0,86 + 0,14 \cos \theta }$. (6)
Отсюда находим, что расстояние до апогея равно $1,40r_{0}$.
Другое решение. Пусть $\bar{V}$ и $R$ - скорость корабля и расстояние до него в апогее. В соответствии с законом сохранения момента импульса и энергии имеем
$mvr_{0} = \frac{m \bar{V}}{R}$, (7)
$\frac{1}{2} mv^{2} - \frac{k}{r_{0} } = \frac{1}{2} m \bar{V}^{2} - \frac{k}{R}$. (8)
Из уравнений (7) и (8) находим
$R = \frac{v^{2} }{ \frac{2k}{mr_{0} } - v^{2} } r_{0}$. (9)
Подставляя сюда выражение для $\frac{k}{r_{0} }$ из равенства (1), т. е.
$\frac{k}{r_{0} } = mv_{0}^{2}$, (10)
Получаем $R \approx 1,4r_{0}$.
