Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 11027
2019-10-23 
Тонкая прямоугольная пластина со сторонами $a$ и $2a$ вращается вокруг оси, совпадающей с одной из ее диагоналей, с постоянной угловой скоростью $\omega$.
а) Вычислите главные центральные моменты инерции.
б) Определите момент импульса и его направление.
в) Вычислите момент, действующий на ось вращения.
Решение:
а) Моменты инерции относительно главных центральных осей $I_{x}$ и $I_{y}$ вычисляются непосредственно:
$I_{x} = \frac{1}{3} m \left ( \frac{a}{2} \right )^{2} = \frac{1}{12} ma^{2}$, (1)
$I_{y} = \frac{1}{3} m \left ( \frac{2a}{2} \right )^{2} = \frac{1}{3} ma^{2}$, (2)
Момент инерции $I_{z}$ для тонкой пластины равен сумме $I_{x}$ и $I_{y}$:
$I_{z} = I_{x} + I_{y} = \frac{5}{12} ma^{2}$. (3)
б) Пусть $\hat{i}, \hat{j}$ и $\hat{k}$ - единичные векторы вдоль осей $x, y$ и $z$ соответственно. Вектор момента импульса $\vec{L}$ (а также вектор угловой скорости $\vec{ \omega}$) не совпадает ни с одной из главных осей, но располагается в плоскости $x, y$. Его величина и направление даются выражением
$\vec{L} = \hat{i}I_{x} \omega_{x} + \hat{j}I_{y} \omega_{y} = \hat{i} I_{x} \cos \delta + \hat{j}I_{y} \omega \sin \delta = \hat{i} \frac{1}{12} ma^{2} \cos \delta + \hat{j} \frac{1}{3} ma^{2} \omega \sin \delta$. (4)
Здесь $I_{x}$ и $I_{y}$ заменены выражениями (1) и (2) соответственно. Отметим, что в этой формуле $\delta$ - угол между векторами $\vec{ \omega}$ и $\hat{i}$.
в) На ось вращения действует момент
$\vec{N} = \left ( \frac{d \vec{L}}{dt } \right )_{0} $, (5)
где $(d \vec{L}/dt)_{0}$ - производная по времени вектора $\vec{L}$ в инерциальной системе отсчета. В общем случае
$\left ( \frac{d \vec{L} }{dt} \right )_{0} = \frac{d \vec{L}}{dt} + \vec{ \omega} \times \vec{L}$. (6)
Во вращающейся с телом системе отсчета первый член в правой части уравнения (6) обращается в нуль. Следовательно,
$\vec{N} = \vec{ \omega} \times \vec{L} = \left ( \frac{1}{3} ma^{2} \omega^{2} \sin \delta \cos \delta - \frac{1}{12} ma^{2} \omega^{2} \sin \delta \cos \delta \right ) \hat{k} = \frac{1}{4} ma^{2} \omega^{2} \sin \delta \cos \delta \hat{k}$.
Тонкая прямоугольная пластина со сторонами $a$ и $2a$ вращается вокруг оси, совпадающей с одной из ее диагоналей, с постоянной угловой скоростью $\omega$.
а) Вычислите главные центральные моменты инерции.
б) Определите момент импульса и его направление.
в) Вычислите момент, действующий на ось вращения.
Решение:
а) Моменты инерции относительно главных центральных осей $I_{x}$ и $I_{y}$ вычисляются непосредственно:
$I_{x} = \frac{1}{3} m \left ( \frac{a}{2} \right )^{2} = \frac{1}{12} ma^{2}$, (1)
$I_{y} = \frac{1}{3} m \left ( \frac{2a}{2} \right )^{2} = \frac{1}{3} ma^{2}$, (2)
Момент инерции $I_{z}$ для тонкой пластины равен сумме $I_{x}$ и $I_{y}$:
$I_{z} = I_{x} + I_{y} = \frac{5}{12} ma^{2}$. (3)
б) Пусть $\hat{i}, \hat{j}$ и $\hat{k}$ - единичные векторы вдоль осей $x, y$ и $z$ соответственно. Вектор момента импульса $\vec{L}$ (а также вектор угловой скорости $\vec{ \omega}$) не совпадает ни с одной из главных осей, но располагается в плоскости $x, y$. Его величина и направление даются выражением
$\vec{L} = \hat{i}I_{x} \omega_{x} + \hat{j}I_{y} \omega_{y} = \hat{i} I_{x} \cos \delta + \hat{j}I_{y} \omega \sin \delta = \hat{i} \frac{1}{12} ma^{2} \cos \delta + \hat{j} \frac{1}{3} ma^{2} \omega \sin \delta$. (4)
Здесь $I_{x}$ и $I_{y}$ заменены выражениями (1) и (2) соответственно. Отметим, что в этой формуле $\delta$ - угол между векторами $\vec{ \omega}$ и $\hat{i}$.
в) На ось вращения действует момент
$\vec{N} = \left ( \frac{d \vec{L}}{dt } \right )_{0} $, (5)
где $(d \vec{L}/dt)_{0}$ - производная по времени вектора $\vec{L}$ в инерциальной системе отсчета. В общем случае
$\left ( \frac{d \vec{L} }{dt} \right )_{0} = \frac{d \vec{L}}{dt} + \vec{ \omega} \times \vec{L}$. (6)
Во вращающейся с телом системе отсчета первый член в правой части уравнения (6) обращается в нуль. Следовательно,
$\vec{N} = \vec{ \omega} \times \vec{L} = \left ( \frac{1}{3} ma^{2} \omega^{2} \sin \delta \cos \delta - \frac{1}{12} ma^{2} \omega^{2} \sin \delta \cos \delta \right ) \hat{k} = \frac{1}{4} ma^{2} \omega^{2} \sin \delta \cos \delta \hat{k}$.
