Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 11026
2019-10-23 
Шар радиусом $r$ вращается вокруг своей оси с угловой скоростью $\omega$. Ось вращения горизонтальна. Шар падает на ровную поверхность, некоторое время вращается на месте, а затем начинает катиться без скольжения. Коэффициент трения равен $\mu$.
а) Чему равна конечная скорость центра масс шара?
б) Какое расстояние пройдет шар, прежде чем установится эта скорость?
в) Вычислите конечную скорость центра масс шара для случая большого $\mu$, когда начальное скольжение полностью отсутствует.
Решение:
Запишем уравнение движения шара в направлении $x$:
$m \ddot{x} = \mu mg$, или $\ddot{x} = \mu g$. (1)
Вращение шара вокруг его оси описывается уравнением
$I \ddot{ \theta} = - \mu mgr$, (2)
где $I = 2mr^{2}/5$ - момент инерции шара.
Интегрируя уравнения (1) и (2), получаем
$\dot{x} = \mu gt$, (3)
$\dot{ \theta} = - \frac{5 \mu g}{2r}t + \omega$. (4)
Пусть, начиная с момента $t = t_{1}$, шар катится без скольжения:
$r \dot{ \theta} = \dot{x}$. (5)
Подставляя это условие в уравнения (3) и (4), получаем
$r \left ( \omega - \frac{5}{2r} \mu gt_{1} \right ) = \mu gt_{1}$,
откуда
$t_{1} = \frac{2 \omega r}{7 \mu g}$. (6)
а) Конечную скорость движения центра масс шара находим из уравнения (3), подставляя в него выражение (6) для $t_{1}$:
$\dot{x}_{ц.м.} = \mu gt_{1} = \frac{2}{7} \omega r$. (7)
б) Прежде чем установится эта скорость, шар пройдет расстояние
$S = \frac{1}{2} \mu gt_{1}^{2} = \frac{1}{2} \mu g \left ( \frac{2 \omega r}{7 \mu g} \right )^{2} = \frac{2 \omega^{2}r^{2} }{49 \mu g}$.
в) При движении без скольжения момент внешних сил равен нулю, поэтому должен выполняться закон сохранения момента импульса
$I_{0} \omega = I \omega_{f}$, (8)
где $I_{0} = \frac{2}{5}mr^{2}$, а $I$ - момент инерции шара относительно мгновенной оси: $I = I_{0} + mr^{2} = \frac{7}{5}mr^{2}$. Таким образом,
$\omega_{f} = \frac{2 \omega }{7}$,
и конечная скорость движения центра масс шара равна
$v_{f} = \omega_{f}r = \frac{2 \omega r}{7}$,
что совпадает с полученной ранее скоростью [см. выражение (7)].
Шар радиусом $r$ вращается вокруг своей оси с угловой скоростью $\omega$. Ось вращения горизонтальна. Шар падает на ровную поверхность, некоторое время вращается на месте, а затем начинает катиться без скольжения. Коэффициент трения равен $\mu$.
а) Чему равна конечная скорость центра масс шара?
б) Какое расстояние пройдет шар, прежде чем установится эта скорость?
в) Вычислите конечную скорость центра масс шара для случая большого $\mu$, когда начальное скольжение полностью отсутствует.
Решение:
Запишем уравнение движения шара в направлении $x$:
$m \ddot{x} = \mu mg$, или $\ddot{x} = \mu g$. (1)
Вращение шара вокруг его оси описывается уравнением
$I \ddot{ \theta} = - \mu mgr$, (2)
где $I = 2mr^{2}/5$ - момент инерции шара.
Интегрируя уравнения (1) и (2), получаем
$\dot{x} = \mu gt$, (3)
$\dot{ \theta} = - \frac{5 \mu g}{2r}t + \omega$. (4)
Пусть, начиная с момента $t = t_{1}$, шар катится без скольжения:
$r \dot{ \theta} = \dot{x}$. (5)
Подставляя это условие в уравнения (3) и (4), получаем
$r \left ( \omega - \frac{5}{2r} \mu gt_{1} \right ) = \mu gt_{1}$,
откуда
$t_{1} = \frac{2 \omega r}{7 \mu g}$. (6)
а) Конечную скорость движения центра масс шара находим из уравнения (3), подставляя в него выражение (6) для $t_{1}$:
$\dot{x}_{ц.м.} = \mu gt_{1} = \frac{2}{7} \omega r$. (7)
б) Прежде чем установится эта скорость, шар пройдет расстояние
$S = \frac{1}{2} \mu gt_{1}^{2} = \frac{1}{2} \mu g \left ( \frac{2 \omega r}{7 \mu g} \right )^{2} = \frac{2 \omega^{2}r^{2} }{49 \mu g}$.
в) При движении без скольжения момент внешних сил равен нулю, поэтому должен выполняться закон сохранения момента импульса
$I_{0} \omega = I \omega_{f}$, (8)
где $I_{0} = \frac{2}{5}mr^{2}$, а $I$ - момент инерции шара относительно мгновенной оси: $I = I_{0} + mr^{2} = \frac{7}{5}mr^{2}$. Таким образом,
$\omega_{f} = \frac{2 \omega }{7}$,
и конечная скорость движения центра масс шара равна
$v_{f} = \omega_{f}r = \frac{2 \omega r}{7}$,
что совпадает с полученной ранее скоростью [см. выражение (7)].
