Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 11025
2019-10-23 
Однородный тонкий стержень массой $M$ и длиной $L$ висит на шарнире без трения. В нижней своей части, как показано на рисунке, он связан со стеной посредством пружины, обладающей жесткостью $k$. Чему равен период колебаний стержня?
Решение:
Обозначим через $\theta$ угол отклонения стержня от вертикали. Уравнение движения стержня записывается следующим образом:
$I \ddot{ \theta} = - (Mg \sin \theta) - kL \sin \theta$.
При малых углах отклонения $\theta ( \sin \theta \approx \theta)$ оно принимает вид
$I \ddot{ \theta} + \left ( \frac{1}{2} MgL + kL \right ) \theta = 0$.
После подстановки выражения для момента инерции стержня $I= \frac{ML{2}}{3}$ имеем
$\frac{ML}{3} \ddot{ \theta} + \left ( \frac{Mg}{2} + k \right ) \theta = 0$.
Отсюда получаем частоту колебаний
$\omega = \sqrt{ \frac{3}{2} \frac{Mg + 2k}{ML} }$
и период
$T = \frac{2 \pi}{ \omega} = 2 \pi \sqrt{ \frac{ML}{Mg + 2k} }$.
Однородный тонкий стержень массой $M$ и длиной $L$ висит на шарнире без трения. В нижней своей части, как показано на рисунке, он связан со стеной посредством пружины, обладающей жесткостью $k$. Чему равен период колебаний стержня?
Решение:
Обозначим через $\theta$ угол отклонения стержня от вертикали. Уравнение движения стержня записывается следующим образом:
$I \ddot{ \theta} = - (Mg \sin \theta) - kL \sin \theta$.
При малых углах отклонения $\theta ( \sin \theta \approx \theta)$ оно принимает вид
$I \ddot{ \theta} + \left ( \frac{1}{2} MgL + kL \right ) \theta = 0$.
После подстановки выражения для момента инерции стержня $I= \frac{ML{2}}{3}$ имеем
$\frac{ML}{3} \ddot{ \theta} + \left ( \frac{Mg}{2} + k \right ) \theta = 0$.
Отсюда получаем частоту колебаний
$\omega = \sqrt{ \frac{3}{2} \frac{Mg + 2k}{ML} }$
и период
$T = \frac{2 \pi}{ \omega} = 2 \pi \sqrt{ \frac{ML}{Mg + 2k} }$.
